Материал: Гидравлические и тепловые расчеты в электрических машинах. Писаревский Ю.В., Писаревский А.Ю

5.5. Классическая теория нестационарного теплового процесса

в электрической машине

В основе расчёта нестационарного теплового режима лежит классическая теория нагрева однородного тела, к которому при определённых допущениях можно свести электрическую машину или какую-нибудь её часть (статор, якорь и т.п).

Дифференциальное уравнение нагревания такого тела можно составить следующим образом. Пусть в единицу времени в теле выделяется количество тепла Р.

Тогда за время dt выделится тепло Рdt. Одна часть этого тепла идёт на нагревание тела, другая рассеивается в окружающую среду.

Пусть за время dt температура возросла на . Если G – масса тела, а c – его удельная теплоёмкость, то на нагрев тела пошло следующее количество тепла Gcd.

Количество тепла, рассеиваемое в окружающее пространство зависит от:

1. поверхности теплоотдачи S;

2. способности этой поверхности рассеивать тепло, которая оценивается коэффициентом теплоотдачи с поверхности ;

3. превышения температуры тела над окружающей средой .

Следовательно количество рассеиваемого тепла равно

Sdt. (5.34)

Уравнение нагревания будет иметь вид

Pdt = Gcd + Sdt. (5.35)

Уравнение теплового баланса преобразуется в дифференциальное уравнение

(5.36)

которое удобно представить в виде

(5.37)

где Т – постоянная времени нестационарного теплового режима

(5.38)

_∞ – установившееся превышение температуры тела(т.к. при t→∞ d/dt→0 и →_∞)

(5.39)

(5.40)

(5.41)

(5.42)

после интегрирования получим

. (5.43)

Постоянная С находится через начальное превышение температуры при t = 0,  =₀

С = ln( - ₀). (5.44)

После подстановки постоянной С получим превышения температуры от времени

(5.45)

Рассмотрим два важных случая. Нагревание тела при ₀ = 0, когда уравнение имеет вид (рис. 5.6, а)

(5.46)

Охлаждение тела, в котором выделения тепла Р =0, _∞ = 0, имеющего при t =0 превышение температуры  = ₀, тогда уравнение охлаждения имеет вид (рис. 5.6, в)

(5.47)

В общем случае превышение температуры определяется как сумма двух членов, один из которых включает _∞, а другой ₀.

Если потери в теле таковы, что _∞>₀, то происходит нагревание тела (рис.5.6, с); если _∞<₀ то происходит охлаждение (рис.5.6, d).

Изменение температуры частей во времени приходится рассчитывать в масштабах, предназначенных для кратковременных и повторно-кратковременных режимов работы. В машинах, номинальный режим которых длителен, можно ограничиться расчетом установившихся температур активных частей.

t

Теория регулярного теплового режима. Ценность классического решения задачи нестационарного нагрева заключается в том, что решение можно распространить на неоднородные, неравномерно нагревающиеся тела и системы тел.

Сущность теории регулярного теплового режима заключается в следующем. Для тела любой конфигурации свободную составляющую температурного поля можно выразить

следующим образом

(5.48)

где U_i – собственные функции; A_i – амплитуды, зависящие от начальных условий.

Коэффициенты m_i образуют вырастающую последовательность положительных чисел, которая при некотором значении времени t обуславливает практическое затухание всех экспонент, кроме первой, и наступление регулярного режима, когда

(5.49)

Рассматривая вместо температурного поля среднюю температуру тела, получим A₁U₁=C , т.е. придем к классическому решению, для которого T=1/m₁, а  - среднеобъёмное превышение температуры.

Поскольку условия охлаждения реального тела характеризуются не только внешним тепловым сопротивлением R_T , но и внутренним R_T , то

(5.50)

Таким образом, оба параметра можно определить по данным стационарного режима.

Погрешность рассматриваемого метода в большей степени зависит от отношения R_/R_. При значении R_/R_ < 0.3 погрешность не превосходит 2 %.

5.6. Нестационарный нагрев в стандартных режимах

работы электрических машин

Гост 183-74 устанавливает восемь типов номинальных режимов работы электрических машин s1-s8. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся режимы работы s1, s2, s3.

Продолжительный режим работы S1.

Продолжительный режим работы (ПР) является основным режимом. При работе в режиме S1 с номинальной нагрузкой температура машины достигает практически установившегося значения. Такой режим рассчитывается как стационарный.

Кратковременный режим работы S2 .

Это режим, при котором за время работы t_p машина не успевает нагреться до установившейся температуры, а после отключения успевает остыть до температуры окружающей среды (рис.5.7). Стандартные значения времени t_p : 10, 30, 60, 90 мин.

Максимальное превышение температуры

(5.51)

При этом должно соблюдаться условие допустимого нагрева _м  _доп, что позволяет определить допустимый уровень потерь для данной машины при известных Т и t_p

Р_кр.доп = _R_. (5.52)

Допустимые потери для продолжительного режима работы при том же доп

Р_пр.доп = _допR_. (5.53)

Соотношение допустимых потерь

(5.54)

Последнее выражение позволяет определить допустимую полезную мощность, до которой можно нагрузить двигатель в КР.

Повторно – кратковременный режим S3.

Повторно – кратковременный режим (ПК) является периодическим, состоящим из циклов работа – пауза.

t_p + t₀ = t_ц , (5.55)

ПВ% = 100 %, (5.56)

где t_p – время работы,

t₀ – время паузы,

t_ц – время цикла,

 - продолжительность включения в относительных единицах,

ПВ% - продолжительность включения в %.

Стандартные значения продолжительности включения (ПВ%): 15, 25, 40, 60%. Время цикла t_ц = 10 мин, если не указано другое значение.

Тепловой расчёт для ПК режима работы представлен на рис. 5.8. Температурная кривая с строится из отрезков, взятых по основной кривой нагрева а и основной кривой охлаждения в.

Постоянные времени для кривых нагрева Т и охлаждения Т_охл в общем случае различны. Через время (1,25-2,5)(Т + Т_охл) процесс принимает установившейся характер. При котором температура колеблется между постоянными значениями _max и _min, которые связаны друг с другом следующими уравнениями:

(5.57)

Совместное решение уравнений позволяет определить максимальный нагрев:

(5.58)

Следовательно, можно определить допустимое значение потерь ПК режима также как и для КР режима по условию _{max }_доп.

(5.59)

Используя обозначение продолжительности включения в относительных единицах  получим:

(5.60)

Эти выражения позволяют определить допустимое повышение нагрузки машины в ПК решение по заданным параметрам режима  и t_ц.

Принципы расчёта других режимов работы аналогичны рассмотренным выше.

5.7. Общий метод расчета нестационарных процессов

по тепловой схеме

В практике научных исследований часто требуется расчёт нестационарных температурных полей электрических машин при детальном рассмотрении её элементов, число которых может быть достаточно большим.

Ограничением служат в основном возможности имеющейся вычислительной техники. Для расчёта берутся обычные тепловые схемы, дополненные ёмкостями. Те узлы схемы, для которых теплоёмкость соответствующих элементов незначительна, - это в первую очередь воздушные объёмы – исключаются из схемы.

В качестве примера можно рассмотреть тепловую схему замещения статора машины переменного тока (рис 5.4, б).

Очевидно, что нестационарный тепловой процесс в данном случае будет описываться системой дифференциальных уравнений для трёх элементов. Общий вид уравнения i – го узла системы, состоящей из m – элементов,

(5.61)

где - скорость адиабатического обогрева тела,

_ik – коэффициенты матриц тепловых проводимостей.

В данное время расчёт подобных схем замещения и соответствующих им систем дифференциальных уравнений не составляет особых трудностей ввиду широкого распространения таких программ высокого уровня как MATCAD, MATLAB, MIKRO-CAP, ANSIS.

ЗАДАЧИ

Задача 1. Определить среднюю температуру кубика со стороной а = 1,2 м и внутренними источниками тепла плотностью q = 1400 Вт/м³. Охлаждение кубика конвективное и осуществляется по поверхностям S_x и S_y, которые имеют соответствующие коэффициенты теплоотдачи _x = 25 Вт/(м²K) и _y = 8 Вт/(м²K). Коэффициенты теплопроводности _x = 55 Вт/(мK) и _y = 15 Вт/(мK).