Материал: Гидравлические и тепловые расчеты в электрических машинах. Писаревский Ю.В., Писаревский А.Ю

Рассмотрим некоторый объём пространства V₀. Количество (масса) жидкости в этом объёме есть

Рис. 2.15

(2.65)

где ρ – плотность жидкости, а интегрирование по объёму V₀.

Через элемент поверхности , ограничивающей рассматриваемый объём, в единицу времени протекает количество жидкости: вектор по абсолютной величине равен площади элемента поверхности и направлен по нормали к ней. Тогда положительно, если жидкость вытекает из объёма, и отрицательно, если жидкость втекает в объём.

Полное количество жидкости, вытекающей из объёма V₀ в единицу времени

, (2.66)

где интегрирование производится по всей замкнутой поверхности, охватывающей рассматриваемый объём.

С другой стороны, уменьшение количества в объёме V₀ можно записать в виде

. (2.67)

Приравнивая оба выражения получаем

(2.68)

или

. (2.69)

Преобразуем интеграл по поверхности в интеграл по объёму

. (2.70)

Следовательно

(2.71)

. (2.50)

Поскольку это равенство должно иметь место для любого объёма то должно быть равно нулю подынтегральное выражение

(2.72)

Это так называемое уравнение непрерывности.

Это уравнение можно записать в другом виде раскрыв выражение

(2.73)

где  – оператор (набла).

. (2.74)

По правилам действий с оператором набла

. (2.75)

Следовательно, уравнение непрерывности имеет вид

(2.76)

Вектор называют плотностью потока жидкости.

Уравнение Эйлера

Выделим в жидкости некоторый объем. Полная сила, действующая на выделенный объем жидкости, равна интегралу

, (2.77)

взятому по поверхности рассматриваемого объема. Преобразуя его в интеграл по объему, имеем

, (2.78)

или (2.79)

Из уравнения видно, что на каждый элемент объема жидкости dV действует со стороны окружающей его жидкости сила

grad pdV. (2.80)

Другими словами можно сказать, что на единицу объема жидкости действует сила

grad p. (2.81)

Уравнение движения элемента объема жидкости можно написать, приравняв силу grad P к произведению массы единицы объема жидкости (или плотности) ρ на её ускорение , т.е.

. (2.82)

Стоящая здесь производная есть полная производная, т.е. она определяет не изменение скорости жидкости в данной неподвижной точке пространства, а изменение скорости определённой передвигающейся в пространстве частицы жидкости.

Эту производную надо выразить через величины, относящиеся к неподвижным в пространстве точкам.

Изменение dv скорости данной частицы жидкости в течение времени dt складывается из 2^х частей: из изменения скорости в данной точке пространства в течение времени dt и из разности скоростей (в один и тот же момент времени) в двух точках, разделенных расстоянием пройденным рассматриваемой частицей жидкости в течение времени dt.

Первая из этих частей равна , где производная берется при постоянных x, y, z, т.е. в заданной точке пространства.

Вторая часть изменения скорости равна

(2.83)

Таким образом

(2.84)

(2.85)

(2.86)

Окончательно получаем

, (2.87) (2.65)

Это и есть искомое уравнение движения жидкости, установленное впервые Л.Эйлером в 1755 г. Оно называется уравнением Эйлера.

Основу всей гидродинамики составляет уравнение Навье-Стокса

(2.88)

или

. (2.89)

Это уравнение справедливо как для сжимаемых, так и для несжимаемых жидкостей. В случае несжимаемых жидкостей уравнение упрощается

. (2.90)

При отсутствии трения ( ) уравнение движения ещё более упрощается и описывает движение идеальной жидкости. Таким образом приходим к уравнению Эйлера

, (2.91)

т. е. получаем уравнение аналогичное уравнению (2.85)

. (2.92)

Уравнение Бернулли ДЛЯ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ СТРУЙКИ

ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

Рассмотрим элементарную струйку в установившемся плавно изменяющемся течении жидкости. В этом случае распределение давления подчиняется основному уравнению гидростатики. Определим удельную механическую энергию такой элементарной струйки, считая жидкость несжимаемой.

Потенциальная энергия некоторого элементарного объема равна сумме энергий положения и давления

, (2.93)

где h – высота положения рассматриваемого объема относительно некоторого уровня отсчета.

Энергия положения – потенциальная энергия, которую запасет элементарный объем dV при поднятии его на высоту h.

Энергия давления

. (2.94)

Физический смысл этой энергии заключается в том, что под действием гидростатического давления р элементарный объем dV сложно дополнительно поднять на некоторую высоту

. (2.95)

Потенциальная энергия

. (2.96)

Удельная потенциальная энергия, отнесенная к единице массы

. (2.97)

Т.к. сечение элементарной струйки мало, можно считать, что средняя скорость для элементарного объема w = const равна скорости в данной точке v. Тогда кинетическая энергия элементарного объема

. (2.98)

Удельная кинетическая энергия

. (2.99)

Полная удельная энергия, отнесённая к единице массы элементарной струйки

. (2.100)

Для идеальной несжимаемой жидкости, обладающей абсолютной текучестью, полная удельная энергия не изменяется по длине элементарной струйки, т.е.

. (2.101)

Для двух сечений 1 и 2

. (2.102)

Это уравнение Бернулли для элементарной струйки невязкой жидкости при установившемся движении.

Если разделить все члены уравнения на g, тогда все члены вновь полученного уравнения будут иметь размерность геометрической высоты

, (2.103)

где – скоростная высота, т.е. высота, падая с которой частица жидкости приобрела бы скорость v;

– пьезометрическая высота, т.е. высота столба жидкости, которую может поддерживать давление р;

h – высота положения относительно некоторого уровня отсчета;

h_d – гидравлическая высота.

Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости

Поток реальной жидкости состоит из множества элементарных струек. Для элементарной струйки потока идеальной жидкости гидродинамическая высота в любом сечении – постоянная величина.