Курсовая работа (т): Группы симметрий правильных многогранников

Группы симметрий правильных многогранников

План

Введение

Глава 1. Понятие группы

§1. Определение группы

§2. Разновидности групп

§3. Действие группы на множестве

§4. Группы симметрий

Глава 2. Лемма Бернсайда о количестве орбит

§1. Формулировка и доказательство

§2. Задачи о раскрасках

Заключение

Литература

Введение

Правильные многогранники известны человечеству с давних времен. Так, например, недавно в Шотландии при раскопках были обнаружены камни, ограненные в виде всех пяти правильных многогранников. Эти находки относят ко второму тысячелетию до нашей эры.

Первое письменное упоминание о правильных многогранниках принадлежит грекам. Пифагорейцам были известны тетраэдр, куб и октаэдр. Описание додекаэдра и икосаэдра приписывается Теэтету Афинскому (начало IV в. до н.э.); он же доказал, что других правильных многогранников не существует.

Самый термин «группа» принадлежит французскому математику Галуа - подлинному создателю теории групп. Идеи теории групп «носились» в воздухе задолго до Галуа, и некоторые из ее теорем в наивной форме были доказаны еще Лагранжем. Гениальные работы Галуа оказались непонятыми, и возрождение интереса к ним началось только после книги Жордана «Курс теории перестановок и алгебраических уравнений» (1870г.).

Группы симметрии многогранников изучались многими математиками и кристаллографами. После того, как Лежандр (1833) впервые ввёл математическое понятие симметрии в геометрию, Р.-Ж. Гаюи применил это понятие в кристаллографии. В дальнейшем изучение возможных видов симметрии многогранников было продолжено И.Ф.Х. Гесселем и О.Браве.

Глава 1. Понятие группы

§1. Определение группы

Рассмотрим множество G всех n × n-матриц с вещественными коэффициентами и с отличным от нуля определителем. . Видно, что А, B далее, (АВ) C = А (ВC) и существует выделенная матрица Е такая, что АЕ = = ЕА = А для всех А . Кроме того, у каждой матрицы А имеется «антипод» - обратная матрица , для которой А = А = Е.

Множество G рассматриваемое вместе с законом композиции (бинарной операцией) (А, В)  и называемое полной линейной группой степени n над R, можно было бы коротко определить, как подмоноид всех обратимых элементов моноида .

Пусть Х - произвольное множество. Бинарной алгебраической операцией на Х называется произвольное (но фиксированное) отображение декартова квадрата  Чаще всего бинарную операцию на Х обозначают каким-нибудь специальным символом:  

Бинарная операция на множестве Х называется ассоциативной, если

Множество Х с заданной на нём бинарной ассоциативной операцией называется полугруппой. Полугруппу с единичным (нейтральным) элементом принято называть ещё моноидом.

Как и для всякого множества, мощность моноида М=(М, ) обозначается символом Card M или .

Подмножество  полугруппы S с операцией  называется подполугруппой, если хдля всех x, у. В этом случае говорят ещё, что подмножество  S замкнуто относительно операции (М, ) - моноид, а подмножество  не только замкнуто относительно операции , но и содержит единичный элемент, то

Определение. Моноид G, все элементы которого обратимы, называется группой. Другими словами, предполагаются выполненными следующие аксиомы:

(G0) на множестве G определена бинарная операция: (х,у) ху

(G1) операция ассоциативна: (ху)z = х(уz) для всех х, у, z  G;

(G2) G обладает нейтральным (единичным) элементом е: хе = ех = х для всех x  G

(G3) для каждого элемента x  G существует обратный

§2. Разновидности групп

Группа с коммутативной операцией называется коммутативной, а еще чаще - абелевой. Почти всё сказанное выше о моноидах переносится на группы.

Подмножество Н  G называется подгруппой в G, если e  H;  H  H и . Подгруппа  собственная, если

Приведём несколько примеров групп.

В полной линейной группе G(R) рассмотрим подмножество S(R) матриц с определителем 1:

S(R) = {}.

E . . (R)подгруппа в ; она носит название специальной линейной группы степени п над R. Ее называют еще и унимодулярной группой.

Используя рациональные числа вместо вещественных, мы придем к полной линейной группе  степени n над Q и к ее подгруппе S(Q). В свою очередь S(Q) cодержит подгруппу S(Z) целочисленных матриц с определителем 1. S(Z) - также является группой. Частично упорядоченное множество рассмотренных подгрупп группы G(R) изображается диаграммой.

Положив в примерах 1) и 2) n=1, мы придем, во-первых, к мультипликативным группам

вещественных и рациональных чисел. Эти группы бесконечны. Так как в (Z, ∙ , 1) обратимыми элементами являются только 1 и -1, то = {± 1). Далее, S(R) = S(Q) = S(Z) = 1. Но уже при п = 2 группа S(Z) бесконечна: ей принадлежат, например, все матрицы

Бесконечные аддитивные группы:

Циклические группы.

Пусть G - мультипликативная группа (т. е. с операцией умножения), а - ее фиксированный элемент. Если любой элемент g  записывается в виде  для некоторого n  Z, то говорят, что  - циклическая группа с образующим а (или циклическая группа, порожденная элементом а). Аналогично циклическая группа определяется в аддитивном случае: . Это, конечно, не означает, что все элементы ап или па попарно различны. Условимся в обозначении  и убедимся в справедливости следующего утверждения.

Теорема 1: Каковы бы ни были m, n ,

( соответственно

Доказательство: При неотрицательных m, n. Если

.

При имеем

(или ).

Аналогично рассматривается случай

Равенство (ат)п=атп вытекает из предыдущего и достаточно очевидно из определения степеней.

Простейшим примером циклической группы служит аддитивная группа целых чисел (Z,+, 0), порожденная обычной единицей 1 или 1. Множество {1,-1} является по умножению циклической группой порядка 2.

Пусть снова G - произвольная группа, а - некоторый ее элемент. Имеются две возможности: 1) Все степени элемента а различны, .т. е. . В этом случае говорят, что элемент а  имеет бесконечный порядок. 2) Имеются совпадения ат = ап при . Если, например, т > п, то  т. е. существуют положительные степени элемента а , равные единичному элементу. Пусть q- наименьший положительный показатель, для которого  = е. Тогда говорят, что а - элемент конечного порядка q. В конечной группе G (Card G < ∞) все элементы, разумеется, будут конечного порядка.

§3. Действие группы на множестве

Группа G действует (слева) на множестве X, если для любых элементов g  и х  X определен элемент gх  X, причем g2(g1х) = (g2 g1)х и ех = х для всех х  X, g1, g2  G. Множествох = {gx | g  G}

называется орбитой элемента х. Орбиты любых двух элементов из X либо совпадают, либо не пересекаются, так что множество X разбивается на непересекающиеся орбиты. Если орбита одна - все множество X, то говорят, что С действует транзитивно на X. Иначе говоря, группа G действует транзитивно на множестве X, если для любых двух элементов х, х' из X найдется элемент g из G такой, что gх = х'.

Стабилизатором элемента х из X называется подгруппа

StG(x)= {g  G | gх = х}.

Множеством неподвижных точек элемента g из G называется множество

Fiх(g) = {х  X | gх = х}.

Мощности орбиты равна индексу стабилизатора в группе G.

Пример:

Пусть К - фиксированный куб в трехмерном евклидовом пространстве, G - группа всех движений этого пространства, сохраняющих ориентацию и переводящих К в К. В группе G имеется тождественное движение, вращения на 120° и 240° вокруг четырех осей, проходящих через противоположные вершины куба, вращения на 180° вокруг осей, проходящих через середины противоположных ребер, и вращения на 90°, 180° и 270° вокруг осей, проходящих через центры противоположных граней. Итак, мы нашли 24 элемента в группе G. Покажем, что других элементов в G нет. Группа G действует транзитивно на множестве К0 вершин куба К, так как любые две вершины из К можно «соединить цепочкой соседних», а соседние можно перевести друг в друга подходящим вращением. Стабилизатор вершины x должен оставлять на месте также наиболее удаленную от нее вершину х'. Поэтому он состоит из тождественного движения и вращений вокруг оси хх' на 120° и 240°. Следовательно, |G| = |К°| • || = 8 • 3 = 24 и, значит, все указанные выше вращения составляют группу G.

Группа G называется группой вращений куба. Докажем, что  Вращения из G переставляют четыре самых длинных диагонали куба. Возникает гомоморфизм: φ: G →  . Ядро этого гомоморфизма равно {е}, так как только тождественное движение оставляет каждую диагональ куба на месте. Поэтому G изоморфна подгруппе группы . Сравнивая порядки этих групп, получаем, что G  .

Одним из наиболее употребляемых примеров групп и, в частности, групп перестановок, являются группы, которыми «измеряется» симметричность геометрических фигур как плоских, так и пространственных.

Группа симметрий тетраэдра.

Тетраэдр (рис. 1) имеет 4 оси симметрии l1, l2, l3, l4 3-го порядка, проходящие через его вершины 1, 2, 3, 4 и центры противолежащих граней. Вокруг каждой оси, кроме тождественного, возможны еще два вращения. Им соответствуют такие перестановки:

вокруг оси l1

вокруг оси l2

вокруг оси l3