Курсовая работа (т): Группы симметрий правильных многогранников

вокруг оси l4

Кроме того, имеется 3 оси симметрии 2-го порядка, проводящие через середины А, В, С, D, Е, F скрещивающихся ребер. Поэтому имеется еще 3 (по числу пар скрещивающихся ребер) нетождественных преобразования, которым соответствуют перестановки:

вокруг оси AB ,

вокруг оси CD ,

вокруг оси EF .

Итак, вместе с тождественным преобразованием получаем 12 перестановок. При указанных преобразованиях тетраэдр самосовмещяется, поворачиваясь в пространстве; его точки при этом не изменяют своего положения относительно друг друга. Совокупность выписанных 12 перестановок замкнута относительно умножения, поскольку последовательное выполнение вращений тетраэдра снова будет вращением. Таким образом, получаем, группу, которая называется группой вращений тетраэдра.

При других преобразованиях пространства, являющихся самосовмещениями тетраэдра, внутренние точки тетраэдра передвигаются относительно друг друга. А именно: тетраэдр имеет 6 плоскостей симметрии, каждая из которых проходит через одно из его ребер и середину противолежащего ребра. Симметриям относительно этих плоскостей отвечают следующие транспозиции на множестве вершин тетраэдра:

Уже па основании этих данных можно утверждать, что группа всевозможных симметрий тетраэдра состоит из 24 преобразований. В самом деле, каждая симметрия, самосовмещая тетраэдр в целом, должна как-то переставлять его вершины, ребра и грани. В частности в данном случае симметрии можно характеризовать перестановками вершин тетраэдра. Поскольку тетраэдр имеет 4 вершины, его группа симметрий не может состоять больше чем из 24 преобразований. Иными словами, она либо совпадает с симметрической группой S4, либо является ее подгруппой. Выписанные выше симметрии тетраэдра относительно плоскостей определяют всевозможные транспозиции на множестве его вершин. Поскольку эти транспозиции порождают симметрическую группу S4, получаем требуемое. Таким образом, любая перестановка вершин тетраэдра определяется некоторой его симметрией. Однако этого нельзя сказать о произвольной перестановке ребер тетраэдра. Если условиться обозначать каждое ребро тетраэдра той же буквой, что и его середину, то, скажем, перестановки на множестве ребер

отвечают соответственно двум вращениям вокруг оси l1, и вращению вокруг оси АB. Выписав перестановки на множестве {А, В. С, D, Е, F} для всех преобразований симметрии, получим некоторую подгруппу симметрической группы S6, состоящую из 24 перестановок. Группа перестановок вершин тетраэдра и группа перестановок его ребер - разные группы перестановок, поскольку они действуют на разных множествах. Но за ними «видна» одна и та же группа - группа преобразований пространства, оставляющих тетраэдр на месте.

Группа симметрий куба. Симметрии куба, как и симметрии тетраэдра, делятся на два типа - самосовмещения, при которых точки куба не изменяют своего положения относительно друг друга, и преобразования, оставляющие куб в целом на месте, но передвигающие его точки относительно друг друга. Преобразования первого типа будем называть вращениями. Все вращения образуют группу, которая называется группой вращений куба.

Имеется ровно 24 вращения куба вокруг различных осей симметрии.

В самом деле, при поворотах куба место нижней грани может занять любая из 6 граней куба (рис. 2). Для каждой из 6 возможностей - когда указано, какая именно грань расположена внизу, - имеется 4 различных расположения куба, соответствующих его поворотам вокруг оси, проходящей через центры верхней и нижней граней, на углы 0, π/2, π, Зπ/2. Таким образом, получаем 6×4 = 24 вращений куба. Укажем их в явном виде.

Куб имеет центр симметрии (точка пересечения его диагоналей), 3 оси симметрии четвертого порядка, 4 оси симметрии третьего порядка и 6 осей симметрии второго порядка. Достаточно рассмотреть вращения вокруг осей симметрии.

а) Оси симметрии четвертого порядка -это оси  проходящие через центры противоположных граней. Вокруг каждой из этих осей имеется по три нетождественных вращения, а именно вращения на углы π/2, π, 3π/2. Этим вращениям соответствуют 9 перестановок вершин куба, при которых вершины противоположных граней переставляются циклически и согласовано. Например, перестановки

отвечают поворотам вокруг оси

б) Осями симметрии третьего порядка являются диагонали куба. Вокруг каждой из четырех диагоналей [1,7], [2, 8], [3, 5], [4, 6] имеется по два нетождественных вращения на углы 2π/3, 4π/3. Например, вращения вокруг диагонали [1, 7] определяют такие перестановки вершин куба:

Всего получаем 8 таких вращений.

в) Осями симметрии второго порядка будут прямые, соединяющие середины противолежащих ребер куба. Имеется шесть пар противоположных ребер (например, [1,2], [7, 8]), каждая пара определяет одну ось симметрии, т. е. получаем 6 осей симметрии второго порядка. Вокруг каждой из этих осей имеется одно нетождественное вращение. Всего 6 вращений. Вместе с тождественным преобразованием получаем 9+8+6+1=24 различных вращения. Все вращения куба указаны. Вращения куба определяют перестановки на множествах его вершин, ребер, граней и диагоналей. Рассмотрим, как действует группа вращений куба на множестве его диагоналей. Различные вращения куба переставляют диагонали куба по-разному, т. е. им соответствуют различные перестановки на множестве диагоналей. Поэтому группа вращений куба определяет группу перестановок на множестве диагоналей, состоящую из 24 перестановок. Поскольку куб имеет лишь 4 диагонали, группа всех таких перестановок совпадает с симметрической группой на множестве диагоналей. Итак, любая перестановка диагоналей куба соответствует некоторому его вращению, причём разным перестановкам соответствуют разные вращения.

Опишем теперь всю группу симметрий куба. Куб имеет три плоскости симметрии, проходящие через его центр. Симметрии относительно этих плоскостей в сочетании со всеми вращениями куба дают нам еще 24 преобразования, являющихся самосовмещениями куба. Поэтому полная группа симметрий куба состоит из 48 преобразований.

Группа симметрий октаэдра. Октаэдродин из пяти правильных многогранников. Его можно получить, соединяя центры граней куба и рассматривая тело, ограниченное плоскостями, которые определяются соединительными прямыми для соседних граней (рис. 3). Поэтому любая симметрия куба одновременно является симметрией октаэдра и наоборот. Таким образом, группа симметрий октаэдра такая же, как и группа симметрий куба, и состоит из 48 преобразований.

Группа симметрий правильного многогранника состоит из 2l преобразований, где l - число его плоских углов. Это утверждение имеет место для всех правильных многогранников, его можно доказать в общем виде, не находя всех симметрий многогранников.

Глава 2. Лемма Бернсайда о количестве орбит

§1. Формулировка и доказательство

Лемма Бернсайда вычисляет количество орбит действия группы на множестве с помощью суммы по всем элементам группы. Она применяется в том случае, когда порядок множества X намного больше, чем порядок группы G.

Пусть G - перестановок на множестве Подмножество называется орбитой группы G, если

а) для любого  и любого ; т.е. действие перестановок из G на элементы O не выводит за пределы О;

б) два элемента из О можно перевести друг в друга некоторой перестановкой из G.

Всякая группа перестановок G = { имеет орбиты.

Для доказательства выберем произвольный элемент  и рассмотрим множество  Оно будет орбитой группы G, так как

а) если  так как

б) если  и произвольные элементы из  то  и при этом так как Gгруппа.

Оказывается, что орбитами подобного вида исчерпываются все типы орбит. Более точно, если Оорбита группы G и , то =(а). Справедливость этого утверждения вытекает непосредственно из определения орбиты группы.

Ясно, что любые две орбиты О(а) и О (b) либо совпадают (если bО(а)), либо не пересекаются (если bO(а)). Отсюда следует, что множество М распадается в объединение непересекающихся подмножеств - орбит группы G. В частности, может случиться, что единственной орбитой группы G будет само множество М. Группы с таким свойством называются транзитивными. Таким образом, группа перестановок G на множестве М транзитивна, если любой элемент аМ может быть получен из любого другого элемента bМ под действием подходящим способом выбранной перестановки : . Все другие группы перестановок называются интранзитивными.

Пусть число неподвижных точек перестановки , число орбит группы перестановок действующей на множестве

Лемма Бернсайда: Для любой группы перестановок имеет место равенство

Доказательство: Рассмотрим отношение «перестановка  сохраняет неподвижным элемент m» между перестановками группы G и элементами множества М. Сопоставим парам (, т), , m, вершины прямоугольной сети и отметим те из них, для которых соответствующая пара (, т) находится в указанном отношении, т. е. m(a) = т (рис. 4). Иными словами, построим график указанного отношения. Число отмеченных точек (точек, принадлежащих графику) можно подсчитать двумя способами:

определить число отмеченных точек на каждой вертикали и просуммировать полученные величины или же определить число таких точек по каждой горизонтали и затем вычистить их сумму.

Согласно определению отношения на каждой вертикали отмечаются все точки, сохраняемые перестановкой , соответствующей этой вертикали. Их число равно  Поэтому число всех точек графика равно

С другой стороны, на каждой горизонтали отмечаются все перестановки, сохраняющие элемент m, отвечающий этой горизонтали. Мы знаем, что они образуют группу Gm - стабилизатор элемента т - и их чисто равно

Поэтому при втором способе подсчета числа отмеченных точек графика рассматриваемого отношения получаем выражение

Однако если элементы i, j М содержатся в одной орбите, то  и поэтому  Пусть - все орбиты группы G, такие, что , и слагаемые в этом объединении не пересекаются. Разобьем сумму (1) на части так, чтобы внутри каждой из частей суммирование шло по элементам некоторой орбиты:

Каждое из t слагаемых в правой части этого равенства можно преобразовать следующим образом:

Поэтому

Таким образом, при втором способе подсчета мы получили  отмеченных точек графика. Приравнивая величины, полученные при первом и втором способах, получим

т.е.

Лемма доказана.

§2. Задачи о раскрасках

Рассмотрим две комбинаторные задачи на применение леммы Бернсайда. симметрия многогранник лемма бернсайд

Задача 1: Сколькими способами можно раскрасить вершины куба в три цвета (например, красный, синий и зеленый)?

Каждую из восьми вершин куба можно раскрасить тремя способами, причем независимо от того, как раскрашены другие вершины, то множество всех вершин куба можно раскрасить 38 = 6561 различными способами. Однако при таком подходе к решению задачи молчаливо предполагается, что мы умеем различать вершины куба перед окраской, т. е., скажем, куб жестко закреплен или его вершины занумерованы. При этом полученный ответ можно интерпретировать следующим образом: можно так раскрасить 38 абсолютно одинаковых, жестко закрепленных кубов, что все они будут различаться. Дли 38+1 кубов этого сделать уже нельзя.