Материал: Гурбич Лабораторныы практикум по курсу Обшчая физика раздел Електричество 2014
Разрешим уравнение (11.17) относительно q0 :
|
|
|
|
ε0 / L |
|
|
|
−iψ |
|
|
||
|
q = |
|
|
|
|
|
|
e |
|
. |
(11.19) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0 |
|
(ω02 −ω2 )2 +4β2ω2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
Подставим полученное решение в (11.15) и возьмем действи- |
||||||||||||
тельную часть: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ε |
|
/ L |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
q(t) = Re |
|
|
|
|
|
e−iψ |
eiωt |
= |
|||
|
|
(ω02 −ω2 )2 +4β2ω2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(11.20) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
ε0 / L |
|
cos(ωt −ψ) |
= q0 cos(ωt −ψ). |
||||||||
|
|
|
||||||||||
|
(ω02 −ω2 )2 +4β2ω2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Сравнивая (11.20) с (11.12) видим, что изменение заряда на конденсаторе (а вместе с ним и напряжение) отстает от изменения ЭДС на угол ψ, определяемый (11.18).
Дифференцируя (11.20), найдем выражение для тока:
|
I (t) = − |
|
|
ε0 / L |
|
|
|
|
|
|
|
ω sin(ωt −ψ) = |
|||||||||||||
|
|
(ω02 −ω2 )2 +4β2ω2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
ε0 / L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
(11.21) |
||||
= |
|
|
|
ω cos(ωt |
+ |
|
|
−ψ) = I0 cos(ωt −ϕ), |
|||||||||||||||||
(ω02 −ω2 )2 +4β2ω2 |
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где |
|
|
|
|
ε0ω/ L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε0 |
|
|
|
||||
|
I0 = |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
(11.22) |
||||||||
|
|
( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
||||||
|
|
|
ω0 |
−ω |
|
+4β |
ω |
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
+ |
ωL − |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ωC |
||
– амплитудное значение тока, а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ωL |
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ωC |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
ϕ= arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.23) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– сдвиг фаз между током и ЭДС, изменяющейся по закону (11.12).
76
Как видно из (11.22), амплитуда силы тока имеет максимальное значение при (ωL – 1/ωC) = 0. Резкое возрастание силы тока при приближении частоты внешнего напряжения ω к собственной частоте колебательного контура ω0 называется резонансом, а соответствующая частота – резонансной. Максимум при резонансе оказывается тем выше и острее, чем меньше коэффициент затухания β. Вид резонансных кривых для нескольких значений коэффициента затухания приведен на рис. 11.2.
Зависимость сдвига фаз (11.23) между током в контуре и внешней ЭДС вблизи резонансной частоты показана на рис. 11.3.
Колебательный контур принято характеризовать величиной Q, на-
зываемой добротностью контура:
Q = λπ,
Рис. 11.2
Рис. 11.3
(11.24)
где λ – логарифмический декремент затухания (11.11). Добротность пропорциональна числу колебаний, совершаемых
системой за время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз, и характеризует остроту резонансной кривой.
Получим ряд соотношений, связывающих добротность с параметрами контура и формой резонансной кривой. Пользуясь определением добротности (11.24) и выражением для логарифмического декремента затухания (11.11), запишем
Q = |
π |
. |
(11.25) |
|
|||
|
βT |
|
|
Если затухание в контуре мало (β2 << ω02), то из (11.10) следует, что T ≈ 2π/ ω0 , и с учетом (11.8), добротность можно записать как
77
Q = |
ω0 |
= |
ω0 L |
= |
1 |
= |
1 |
|
L |
. |
(11.26) |
ω CR |
R |
|
|||||||||
|
2β |
|
R |
|
|
|
C |
|
|||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
В этом же приближении добротность оказывается равной отношению резонансной частоты контура ωрез к ширине резонансной кривой 2Δω, взятой на высоте, соответствующей
амплитуде в 2 |
меньше, |
чем при |
|
резонансе (рис. 11.4): |
|
||
Q = |
ωрез |
. |
(11.27) |
|
|||
|
2Δω |
|
|
Рис. 11.4 |
Выражение (11.27) можно полу- |
|
чить следующим образом. Из форму- |
||
|
лы (11.22) следует, что значение амплитуды тока при резонансе равно
|
|
|
|
|
I рез(ω ) = ε0 , |
|
|
|
|
|
|
(11.28) |
|||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а амплитуда тока при частоте ω1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
ε0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
I |
0 (ω1) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(11.29) |
||
|
|
R 1+ |
1 |
(ω L − |
|
|
1 |
)2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
R2 |
|
ωC |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Составим отношение этих амплитуд и приравняем его |
2 : |
||||||||||||||||||
|
I рез(ω ) |
= 1+ |
1 |
(ω L |
− |
|
1 |
|
)2 |
= 2. |
(11.30) |
||||||||
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
I |
|
(ω ) |
R2 |
ωC |
|||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
Возведя (11.30) в квадрат, получим после преобразований с ис- |
|||||||||||||||||||
пользованием (11.26) |
|
|
|
|
ω1ω0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Q = |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
(11.31) |
||||
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
ω −ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В случае контура с малым затуханием и, следовательно, с узким максимумом резонансной кривой можно приближенно принять
ω ≈ |
1 |
(ω +ω ) |
(11.32) |
|
|
||||
1 |
2 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
и тогда формула (11.31) преобразуется к виду (11.27).
78
Описание установки
Принципиальная схема используемой в работе установки приведена на рис. 11.5, а структурная схема – на рис. 11.6. Установка состоит из кассеты ФПЭ-11, магазина сопротивлений, магазина емкостей, генератора сигналов ГЗ-106 и осциллографа HM400. В кассете заключены индуктивность L = = 0,1 Гн и постоянное сопротивление
R1 = 75 Ом; на передней панели кассе- Рис. 11.5
ты находятся гнезда для подключения магазина сопротивлений (R) и магазина емкостей (С). В собранном состоянии эти элементы образуют колебательный контур, емкость и сопротивление которого можно изменять.
Рис. 11.6
Внешнее напряжение, изменяющееся по гармоническому закону, подается на клеммы РQ кассеты от генератора ГЗ-106. Клеммы
79
Х и Y на панели кассеты соединяются соответственно с клеммами CH1 и CH2 на входе осциллографа. Таким образом, как видно из принципиальной схемы, на один из каналов осциллографа (Y1) подается напряжение внешнего источника (генератора), а на другой (Y2) – падение напряжения на сопротивлении R1, пропорциональное току в контуре.
Порядок выполнения работы
Упражнение 1. Изучение зависимости амплитуды тока в колебательном контуре от частоты внешнего напряжения (получение резонансной амплитудной кривой для тока).
1.Приняв значение L = 0,1 Гн и установив величину емкости С
впределах 0,1–1,0 нФ (по указанию преподавателя), оценить собственную частоту колебательного контура по формуле
ν0 = 2π 1LC .
2.Установить частоту выходного напряжения генератора, близ-
кой к ν0; напряжение на выходе ~1 В поддерживать постоянным при выполнении всего упражнения.
3.Переключатель магазина сопротивлений установить в положение, соответствующее R = 0.
4.Установить на осциллографе режим работы CH2.
5.Подключить сигнал с сопротивления R1 (выход Y на кассете ФПЭ-11) на вход канала CHII осциллографа (см. рис. 11.6) и получить на экране изображение кривой I(t) в контуре при частоте,
близкой к ν0.
6. Определить амплитуду тока в контуре. Для этого измерить амплитуду А0 синусоиды на экране в делениях шкалы. Затем вычислить амплитуду тока в контуре по формуле
I0 = U0 = Ky A0 , R1 R1
где Kу – масштабный множитель шкалы канала 2 в В/дел; А0 – амплитуда синусоиды в больших делениях шкалы.
80