Курсовая работа (т): Интерполяция по Эрмиту

Интерполяция по Эрмиту

Курсовая работа

Интерполяция по Эрмиту

Содержание

1. Введение

. Теория

.1 Полиномы Эрмита

.2 Интерполирование с кратными узлами

.3 Представление полинома Эрмита

.4 Оценка погрешности интерполирования

. Листинг программы

. Вывод программы

. Заключение

. Список используемых источников

. Приложение

Введение

Теория приближений изучает вопрос о возможности приближенного представления одних математических объектов другими, как правило, более простой природы, а так же вопросы об оценках вносимой при этом погрешности. Значительная часть теории приближения относится к приближению одних функций другими, однако есть и результаты, относящиеся к абстрактным векторным или топологическим пространствам.

В процессе решения какой-то конкретной задачи довольно часто бывает необходимо использовать значения f(x) для промежуточных значений аргумента. В этом случае строят некоторую функцию j(x), достаточно простую для вычисления, которая в заданных точках  принимает значения , а в остальных точках отрезка [a,b], принадлежащего области определения f(x), приближенно представляет функцию f(x) с той или иной степенью точности, и при решении задачи вместо функции f(x) оперируют с функцией j(x). Задача построения такой функции j(x) называется задачей интерполирования. Интерполяционный процесс- процесс получения последовательности интерполирующих функций {f_n(z)} при неограниченном возрастании числа n условий интерполирования. Большой вклад в теорию приближений внес Шарль Эрмит. В данной работе я рассматриваю интерполяцию по Эрмиту.

теория приближений интерполяции функция полином

2. Теория

2.1 Полиномы Эрмита

Полиномы Эрмита образуют ортогональную систему веса

Теорема 1. Полиномы Эрмита определяются формулой

В самом деле, если , то , ,

и вообще

где  есть полином степени n со старшим коэффициентом, равным .

Это легко проверяется методом полной индукции. Значит, функция , определённая формулой (2), действительно есть полином степени n.

Так как

то из формулы

следует, что для любого полинома

 (3)

В частности, если степень ниже n, то последний интеграл равен нулю, откуда и следует, что полиномы (1) образуют ортогональную систему веса .

Если в (3) положить и учесть, что старший коэффициент  есть , то мы найдём, что

. (4)

Таким образом

 (5)

Рекуррентная формула для полиномов Эрмита такова:

 (6)

В самом деле, из (2) методом полной индукции легко убедиться, что в состав  входят только те степени , показатели которых имеют одинаковую чётность с n, откуда ясно, что . Кроме того, из (4) и (5) вытекает, что .

Производящая функция полиномов Эрмита есть

. (7)

Действительно, если , то по формуле Тейлора

  . (8)

Но , откуда и следует (6).

Нетрудно вывести дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет . Именно, если , то . Беря отсюда производные порядка , находим

,

но , и потому

В заключении докажем полноту системы полиномов Эрмита.

Теорема 2. При весе Эрмита

полиномы образуют множество всюду плотное в .

Так как непрерывные функции, равные нулю при достаточно больших , лежат в  всюду плотно, то и достаточно показать, что именно эти функции можно приблизить полиномами с любой степенью точности.

Более того, не ограничивая общности, можно допустить, что рассматриваемые функции обращаются в нуль в некоторых малых интервалах , так как и такие функции лежат в  всюду плотно.

Итак, пусть  - непрерывная функция, отличная от нуля только при . Предполагая её чётной, будем иметь

.

С помощью подстановки , получаем

Функция , будучи непрерывной и ограниченной, входит в при лагерровом весе . Но в этом пространстве полиномы лежат всюду плотно, и за счёт выбора коэффициентов  интеграл можно сделать сколь угодно малым.

Если же  - функция нечётная, то та же подстановка даёт

,

где  непрерывна и ограничена. Значит, опираясь на плотность полиномов  при , мы снова можем сделать  сколь угодно малым. Остаётся заметить, что всякая функция может быть представлена в виде

,

причём первое слагаемое есть функция чётная, а второе - нечётная.

2.2 Интерполирование с кратными узлами

Определение 1. Алгебраический полином

называется интерполяционным полиномом Эрмита для функции , заданной на отрезке , по её значениям , значениям её первых  производных  в -ой попарно различных точках (узлах) , , если

,

; .

Точки  называются узлами интерполяции кратности .

Для определения полинома  ( неизвестное: ) мы имеем  условий (уравнения(2)). Единственность решения математических конечномерных задач обычно обеспечивается равенством числа неизвестных количеству накладываемых на них условий, поэтому теперь будем считать, что .

Теорема 1. Задача алгебраической интерполяции (2) при  имеет единственное решение.

Доказательство. Очевидно, что система уравнений (2) относительно неизвестных  является линейной алгебраической системой порядка . Следовательно, она имеет единственное решение в том и только том случае, когда однородная система имеет только нулевое решение (определитель матрицы этой системы отличен от нуля).

Предположим, что теорема неверна: система уравнений (2) либо не имеет решения, либо имеет несколько решений. Значит, однородная система имеет ненулевое решение , определяющее ненулевой полином  степени и удовлетворяющий условиям

, ; .

Отсюда следует, что  является его корнем кратности , а, так как интерполяционные узлы  попарно различны, то

,

т.е.  является полиномом степени не менее, чем , следовательно, наше предположение ложно и теорема верна.

2.3 Представление полинома Эрмита

Форму Лагранжа представления интерполяционного полинома для случая простых интерполяционных узлов можно обобщить и на случай кратных узлов в следующем виде

,

где полином  степени  определяется условиями

,

; ,

где  - символ Кронекера. Пример. Построим полином Эрмита при . Введём дополнительный узел , отличный от  и , и построим интерполяционный полином  в форме Лагранжа на узлах

.

Предельным переходом при  получим полином Эрмита

Интерполяционный полином Эрмита можно построить и с помощью предельного перехода в интерполяционном полиноме в форме Ньютона. Построим интерполяционный полином  в форме Ньютона на узлах

,

,,

.

Предельным переходом при  получим полином Эрмита

Легко заметить, что в этом случае находить предел значительно проще, чем при использовании полинома в форме Лагранжа.

Установим законность последнего приёма для построения интерполяционного полинома Эрмита.

Предположим, что каждый узел интерполяции  кратности  заменён набором , зависящим от параметра , при стремлении которого к нулю каждый узел набора сходиться к .

Будем считать, что узлы набора

, ,