Курсовая работа (т): Интерполяция по Эрмиту

попарно различны (построить такую систему узлов можно, выбирая дополнительные узлы в достаточно малых - окрестностях исходных интерполяционных узлов).

Представим интерполяционный полином на этой системе узлов в форме Ньютона

где

Лемма 1. На системе узлов  существует и конечен предел разделённых разностей:

где .

Доказательство. Очевидно, что пределы разделённых разностей нулевого порядка существуют и конечны:

 ,

Предположим, что существуют и конечны пределы разделённых разностей до порядка  включительно и рассмотрим разделённую разность порядка :

,

где числитель является разностью разделённых разностей -го порядка, а значит по предположению имеет конечный предел.

Если , то знаменатель стремиться к разности  и нужный предел существует. Осталось рассмотреть случай , когда знаменатель стремиться к нулю. Но в этом случае следует, что

и  лежит между узлами, по которым строиться разделённая разность. Значит , а разделённая разность стремиться к ()-ой производной функции  в точке , что и требовалось доказать.

Теорема 2. Интерполяционный полином  на системе узлов

сходиться к полиному Эрмита  из (2) при .

Доказательство. Из леммы (1) и её доказательства следует, что предел интерполяционного полинома  можно представить в следующем  виде:

Непосредственной проверкой легко установить, что этот предельный полином удовлетворяет всем условиям интерполяции функции  в интерполяционном узле  в кратности :

.

Предельный полином  удовлетворяет условиям интерполяции функции  и в любом другом интерполяционном узле  кратности . Действительно, поменяв узлы  и  местами, учитывая, что интерполяционный полином  единственен, т.е. не зависит от нумерации узлов, получим, что его предел представим в виде

и удовлетворяет условиям интерполяции

2.4 Оценка погрешности интерполирования

Погрешность интерполирования функции , заданной на отрезке , по её значениям , значениям её первых  производных  в -ой попарно различных точках (узлах) , , полиномом Эрмита  из (2)

 (4)

можно оценить с помощью предельного перехода в оценке

, (5)

где  - интерполяционный многочлен на попарно различных узлах кратности один,

Так как  при :

 (6)

- полином степени , то из представления (5) следует

.

Эта оценка вытекает также и из следующей теоремы.

Теорема 3. Погрешность  интерполирования функции , заданной на отрезке , по её значениям , значениям её первых  производных  в -ой попарно различных точках (узлах)  , полиномом Эрмита  из (2) можно представить в виде

,

где  некоторая точка из интервала  (зависящая от ), а полином  определён в (6).

3. Листинг программы

#include <conio.h>

#include <stdio.h>

#include <iostream>

#include <math.h>

#include <locale.h>namespace std;function (double x)

{1/(x*x);

}l_k (double x, int k,double X[], int n)// фундаментальный полином

{p=1.0;(int i=0; i<n+1; i++)(i!=k) p=(double)(p*((x-X[i])/(X[k]-X[i])));p;

}Termit(double x, int n)//Полином Эрмита

{P_0=1, P_1=2*x, P_2;(int i=1; i<n+1; i++)

{_2=(double)(2*x*P_1-2*i*P_0);_0=P_1;_1=P_2;

}P_2;

}Del(double a, double b, int n, double R)//функция половинного деления

{c1,a1,b1;=a; b1=b;((b1-a1)>R)

{=(b1+a1)/2.0;((Termit(a1, n)*Termit(c1, n))<0) b1=c1;a1=c1;

}c1;

}main ()

{(LC_ALL,"Russian");double pi=3.1415926535897932384626433832795; s=0.06, a=0, b=1, sum=0, *X, *T, *E, *Y, *Ch, *N;n, i, j, k, c;int m=15; <<"Введите начало участка:"<<a<<endl;<<"Введите конец участка:"<<b<<endl;<<"Введите отступ от начала:"<<s<<endl;=a+s;<<"Начало участка с отступом:"<<a<<endl;<<"Конец участка с отступом:"<<b<<endl;<<"Введите число узлов:";>>n;<<"Выберите 1 для равномерной сетки, 2 для Чебышевской сетки: ";>>c;=new double[n+1];//узлы=new double[m+1];//текущие точки=new double[m+1];//полином Эрмита=new double[m+1];//погрешность интерполяции=new double[n+1];//узлы Чебышева=new double[m+1];//порядковый номер(c)

{1://разбиение, равномерная сетка

{(i=0; i<n+1;i++)[i]=a+((b-a)/n)*i;;

}2://Чебышевская сетка

{(i=0; i<n+1; i++)

{[i]=cos((double)(pi*(1+2*i)/(2*n+2)));[i]=(double)(Ch[i]*(b-a)+b+a)/2.0;

};

}

}(i=0; i<m+1; i++)[i]=(double)((a+0.01)+((b-a-0.02)/n)*i);<<'N'<<'\t'<<'x'<<'\t'<<'y'<<'\t'<<'f'<<'\t'<<'T'<<'\t'<<'E'<<endl;(j=0; j<m+1; j++)

{sum=0;(i=0; i<n+1; i++)=(double)(sum+(function(X[i])*l_k(Y[j],i, X, n)));[j]=sum;[j]=abs(T[j]-function(Y[j]));

}(i=0; i<m+1;i++)

{N[i]=i;<<N[i]<<'\t'<<X[i]<<'\t'<<Y[i]<<'\t'<<function(Y[i])<<'\t'<<T[i]<<'\t'<<E[i]<<endl;

}[]X;[]Y;[]T;[]E;[]N;();

}

4. Вывод программы

Произведено построение интерполяционного полинома Эрмита для функции на 2-х сетках узлов.

На точность построения влияют: количество узлов интерполяции, особые точки и выбор сетки.

У функции особой точкой является число, равное 0.

Равномерная сетка.

Оптимальное количество равностоящих узлов около 35 - 40, а отступ от особой точки - 0,05-0,07. При увеличении отступа и уменьшении количество узлов, погрешность становится минимальной.

Узлы Чебышева.

Оптимальное количество точек разбиения при таком выборе сетки - 100, а отступ - 0,02. Если отступ увеличить, то точность повысится.

Из результатов работы программы, делаем вывод, что самой оптимальной сеткой узлов является Чебышевская. Можно достаточно хорошо приблизиться к особой точке, и точность вычисления при этом не сильно изменится.

5. Заключение

В результате выполнения данной работы был разработан алгоритм и программа на языке С/С++. Программа была отлажена на задаче, которая представляет собой функцию , имеющую особую точку 0 на отрезке интерполирования[0;1].

Стоит заметить, что погрешность аппроксимации имеет большее значение в крайних точках. В середине области она минимальна.

Также стоит заметить тенденцию уменьшения погрешности до определенных порядков. При дальнейшем увеличении порядка аппроксимации погрешность практически не меняется. Выяснилось, что от выбора узлов интерполируемой функции напрямую зависит, насколько точно многочлен будет являться её приближением.

6. Список используемых источников

1. И.П. Натансон «Конструктивная теория функции», 1949г.

. Мацокин А.М. Численный анализ (конспект лекций).

.[Электронный ресурс] #"783790.files/image187.gif">

Чебышевская сетка узлов