Материал: Исследование динамических характеристик систем автоматического регулирования. Самойленко Н.Э
- для форсирующего звена:
Для перехода от операторной формы передаточной функции (ПФ) к комплексному коэффициенту передaчи (ККП), определяющему амплитудно-фазовую частотную характеристику звена (АФЧХ), следует в выражениях для ПФ принять p=j.
Тогда получим:
- для интегрирующего звена:
(1)
- для дифференцирующего звена:
(2)
- для инерционного (апериодического) звена:
(3)
-для форсирующего звена:
(4)
Для перехода к амплитудным и фазовым частотным характеристикам в (1 - 4) следует перейти сначала к алгебраической форме с выделением действительной и мнимой частей ККП, а затем - к экспоненциальной форме представления комплексных функций:
(5)
(6)
где A() - модуль ККП (амплитудная частотная характеристика звена),
() - аргумент ККП (фазовая частотная характеристика звена),
(7)
φ (ω)=arctg(v(ω)/u(ω)) (8)
При нахождении модуля ККП, то есть АЧХ звена, следует использовать известные свойства комплексных чисел: модуль дроби равен модулю ее числителя, деленному на модуль знаменателя, а модуль произведения равен произведению модулей сомножителей. Например, модуль ККП вида
целесообразно искать в форме
не переходя к прямой алгебраической записи вида (5).
При нахождении аргумента ККП, то есть ФЧХ звена, следует помнить, что аргументом комплексного числа
является число
неоднозначно определяемое на интервале [0; 2], для которого возможны два значения числа n: n=0 или n=1. В частности, числа
и
имеют одно и то же главное значение арктангенса, равное a/b, однако аргументы (фазовые углы) их различны, так как соответствующие им координаты конца вектора на комплексной плоскости лежат в разных квадрантах: у числа c - в первом квадранте, а у числа d - в третьем. Поэтому, фазу числа c следует принять
а фазу числа d
Учитывая указанное обстоятельство, при определении аргумента K(j) используйте алгебраическую форму записи ККП K(j), уточняя по ней, в каком квадранте на комплексной плоскости находится значение ККП K(j).
2.2. Задание второе. Постройте асимптотические логарифмические частотные характеристики (АЛЧХ) для элементарных звеньев: интегрирующего, дифференцирущего, инерционного и форсирующего.
Указания по выполнению. Необходимо помнить, что асимптотические характеристики представляют собой линейно-ломаные кривые, следовательно, для построения их на каждом линейном участке требуется знание координат только двух точек. В отличие от асимптотических, точные характеристики - логарифмическая амплитудная частотная характеристика (ЛАЧХ) и фазово-частотная (ЛФЧХ) находятся по точным выражениям:
и
Асимптотические ЛАЧХ и ЛФЧХ строятся так.
1. Ось частот вычерчивается в логарифмическом масштабе (по горизонтали). За единицу измерения частоты принимается величина с-1 . Обратите внимание на то, что нулевая частота лежит в точке “минус бесконечность”.
2. По вертикальной оси откладывается в линейном масштабе, в децибелах модуль коэффициента передачи звена. Ось проводится через точку =10m , c-1, где m - любое целое положительное или отрицательное число, обеспечивающее близость этой частоты к частотам сопряжения: c1=1/T1, c1=1/T2, и т. д. и к частоте среза ср, определяемой из равенства 20 lgK(j)=0.
3. Найденные сопрягающие частоты c1=1/T1, c1=1/T2, и т. д. отмечаются вдоль оси частот.
4. Проводится низкочастотная асимптота ЛАЧХ, которая представляет собой при 1 прямую с наклоном
-20· дБ/ дек, гле - число интегрирующих звеньев. Эта прямая или ее продолжение при частоте =1 должна иметь ординату 20 lg k, где k - передаточный коэффициент звена.
5. После каждой из сопрягающих частот i наклон асимптотической частотной характеристики L() изменяется по сравнению с предыдущим наклоном в зависимости от того, какому звену принадлежит сопрягающая частота: наклон изменяется на -20 дБ/ дек, если сопрягающая частота принадлежит апериодическому звену; -40 дБ/ дек в случае колебательного звена; +20 дБ/ дек в случае дифференцирующего звена первого порядка; +40 дБ/ дек в случае дифференцирующего звена второго порядка.
2.3. Задание третье. Постройте годографы ККП для элементарных звеньев: интегрирующего, дифференцирующего, инерционного и форсирующего.
Указания по выполнению. Годографом ККП является траектория вектора, построенного в системе координат: Re K(j) - ось абсцисс; j Im K(j) - ось ординат. Вектор проводится из начала координат. Координаты конца вектора определяются: в декартовой системе координат - из алгебраической формы записи ККП (5), в полярной системе координат - из экспоненциальной формы записи ККП (6).
3. Лабораторные задания и методические
УКАЗАНИЯ ПО ИХ ВЫПОЛНЕНИЮ
3.1. Задание первое.
Исследовать влияние параметров линейных динамических звеньев САР на их ЛЧХ.
3.2. Задание второе.
Исследовать поведение годографов ККП линейных динамических звеньев САР при изменении параметров звеньев.
3.3. Указания по выполнению лабораторных заданий
Лабораторные задания по п.п. 3.1 и 3.2 выполняются на ЭВМ с использованием программных средств для моделирования ЛЧХ и годографов ККП линейных динамических звеньев САР.
Запустите программу, соответствующую моделированию ЛЧХ (или годографов ККП).
Постройте графики ЛЧХ (годографов ККП) с использованием параметров индивидуального задания.
Наблюдайте поведение функций при различных значениях параметров.
Определите граничные значения параметров и функций.
Зарисуйте графики.
Сравните результаты моделирования с результатами расчетно-практических заданий.
Сделайте выводы по результатам исследований.
4. Контрольные вопросы по проделанной
РАБОТЕ
Что такое комплексный коэффициент передачи (ККП) для САР и ее звеньев? Какова связь между ККП и ПФ?
Какова связь между амплитудно-частотными характеристиками (АЧХ), фазово-частотными характеристиками (ФЧХ) и ККП?
Какова методика определения АЧХ и ФЧХ?
Для чего используются асимптотические логарифмические частотные характеристики?
Как определяются сопрягающие частоты?
Что такое годограф ККП? Для чего он используется? Как его построить?
Лабораторная работа № 3
Исследование устойчивости сар
1. Цель работы
Целями работы являются:
закрепление теоретических знаний и приобретение практических навыков анализа устойчивости замкнутых систем регулирования по их линейным моделям с использованием критерия Найквиста-Михайлова;
изучение влияния на устойчивость систем параметров динамических звеньев САР.
2. Теоретические сведения
Критерий устойчивости Найквиста-Михайлова основан на рассмотрении частотных характеристик разомкнутых САР и вытекает из принципа аргумента. Передаточная функция САР, имеющей единичную обратную связь (ОС) (рис. 1а), имеет вид
(1)
где W(р) - передаточная функция разомкнутой САР
3. Математическая модель исследуемой
СИСТЕМЫ
Структурная схема анализируемой системы приведена на рис. 3.
Рис. 3
Как видно из рис. 3, система имеет сложную передаточную функцию, поэтому вначале следует провести исследование годографов элементарных звеньев, входящих в передаточную функцию в виде сомножителей. Для передаточной функции вида
(8)
такими простейшими звеньями являются:
- K0 - пропорциональное звено;
- exp(-pTz) - идеальное звено задержки (запаздывания сигнала) на время Tz;
-
- интегрирующее звено (используется в
системе ФАП рис. 4);
-
- инерционное
звено (используется в системе ЧАП
рис.5);
-
- форсирующее
звено (используется как корректирующее).
Рис. 4 Рис. 5
В процессе работы необходимо уметь определять характерные точки годографа: частоты среза и сопряжения частотно-фазовых характеристик, критические частоты. Ниже приведен пример расчета характерных точек и построения годографа для системы третьего порядка с передаточной функцией вида
(9)
1. Модуль комплексного коэффициента передачи
(10)
2. Частота среза находится из соотношения |K(j)|=1, откуда
(11)