Материал: Исследование динамических характеристик систем автоматического регулирования. Самойленко Н.Э

Рис. 1

При неединичной ОС (рис. 1 б)

(2)

Так как по условию разомкнутая САР считается устойчивой, то для вывода амплитудно-фазового критерия устойчивости замкнутой системы достаточно проанализировать вспомогательную функцию

(3)

Представляя W(j) в виде дроби

(4)

Получим

(5)

Знаменатель функции (5) представляет собой характеристическую кривую разомкнутой системы, а числитель - характеристическую кривую замкнутой системы. Изменение аргумента функции

(6)

при возрастании  от 0 до +  равно разности изменений аргумента D(j) и D_p(j).

Рис. 2

Линейная система будет устойчива, если число корней характеристического уравнения, лежащих в правой полуплоскости равно 0, то есть, если

(7)

Поскольку в лабораторной работе исследуются только системы с устойчивыми и нейтральными динамическими звеньями, то критерий устойчивости может быть сформулирован следующим образом :

Если годограф разомкнутой линейной системы не охватывает точку с координатами (-1; j0), то соответствующая этой системе замкнутая система, полученная путем замыкания единичной обратной связи, будет устойчива.

3. Набег фазы на частоте среза равен

(12)

4. Запас устойчивости по фазе _зап для замкнутой системы

(13)

5. Критическая частота _кр, для которой набег фазы в разомкнутой системе равен -, определяется из выражения

или

(14)

откуда

(15)

Годограф рассматриваемой системы изображен на рис. 6.

При выполнении лабораторных заданий годографы строятся автоматически, с помощью программы, однако изображения векторов и характерных точек на экране не воспроизводятся. Обратите внимание:

- рисунки, снятые с экрана, необходимо дополнить изображениями векторов для характерных точек и нанесением самих характерных точек и их параметров;

- формулы (10-15) для определения характерных точек справедливы только для примера САР с передаточной функцией (9). Для других передаточных функций формулы для определения характерных точек разумеется будут иными.

Рис. 6

З амечание: При анализе устойчивости по годографу разомкнутой системы следует обратить внимание на определение “охватываемости” годографом точки (-1; j0): необходимо всегда идти из начала координат вправо по действительной оси до точки начала годографа (=0), либо ”до бесконечности”, затем следует идти по линии годографа, либо по окружности “бесконечного радиуса” до встречи с другой ветвью годографа, а затем по линии годографа к точке = , как это показано на рис. 7, 8.

Неустойчивая система

Рис. 7

Устойчивая система

Рис. 8

4. Лабораторные исследования

ВЛИЯНИЯ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ЗВЕНЬЕВ

НА УСТОЙЧИВОСТЬ САУ

4.1. Влияние дополнительных звеньев на устойчивость системы первого порядка с одним инерционным звеном

4.1.1. Задание первое. Исследовать влияние на устойчивость дополнительного звена идеальной задержки (запаздывание сигнала в системе).

Указания по выполнению. Установить значение усиления К₀=2, постоянную времени Т₂ согласно индивидуальному заданию, а остальные постоянные времени установить равными нулю. Построить годограф звена. Определить частоту среза _ср и запас устойчивости по фазе _зап в замкнутой системе, пользуясь методикой, проиллюстрированной на примере рис. 6, формулы (9-13).

Рассчитайте допустимое время запаздывания сигнала в замкнутой системе Т_{з доп}. Введите это значение времени задержки в программу. Постройте годограф системы с запаздыванием. Сделайте вывод о потере устойчивости системы при Т_з больше допустимого.

4.1.2. Задание второе. Исследовать влияние форсирующего звена (коррекция системы)

Указания по выполнению. Введите в потерявшую устойчивость систему дополнительное форсирующее звено с частотной характеристикой

K(j)=1+jT₁, приняв Т₁=0,01 с. Постройте годограф скорректированной системы. Сделайте вывод об устойчивости системы и примите решение о необходимости изменения значения Т₁. Повторите построение годографа с новым значением Т₁. Определите запас устойчивости по фазе.

4.1.3. Задание третье. Исследовать влияние на систему дополнительного интегрирующего звена.

Указания по выполнению. Рассмотренная система первого порядка с одним инерционным звеном является статической системой, которая не может отработать до нуля ошибку при воздействии скачка входного сигнала. Для придания системе астатизма и уменьшения динамических ошибок в нее добавляют корректирующий интегратор сигнала ошибки. Введите в систему интегратор с ККП K(j)=K₀/ j.

Все постоянные времени, кроме Т_з, сделайте равными нулю (Т₁=Т₂=Т_з=0, значение Тд возьмите из первого задания для Т₂ ). Постройте годограф. Сделайте вывод о том, насколько изменился запас устойчивости системы после включения дополнительного интегрирующего звена.

4.2. Исследование влияния дополнительных звеньев на систему первого порядка с одним интегрирующим звеном

4.2.1. Задание четвертое. Исследовать влияние звена идеальной задержки.

Указания по выполнению. В моделирующей программе включите интегратор. Примите равными нулю остальные временные параметры модели. Постройте годограф разомкнутой системы при отсутствии задержки.

Зная частоту среза _ср и угол набега фазы (_ср), определите запас устойчивости по фазе и рассчитайте допустимое времязадержки Т_{з доп}.

Введите это значение времени задержки в программу. Постройте новый годограф. Сделайте вывод об устойчивости системы.

4.2.2. Задание пятое. Исследовать влияние форсирующего звена на систему с интегратором, потерявшую устойчивость из-за запаздывания сигнала.

Указания по выполнению. Для системы с параметрами, использованными в задании №4, постройте годограф и убедитесь в том, что система исчерпала запас устойчивости.

Введите в систему дополнительное форсирующее звено с ККП K(j)=jT+1, приняв Т₁=1/ 5K₀. Постройте годограф скорректированной системы. Определите запас устойчивости по фазе в этой системе.

Увеличьте постоянную времени Т1 форсирующего звена. Постройте годограф. Сделайте выводы о возможностях использования форсирующих звеньев для повышения устойчивости системы. Зарисуйте графики. Сравните результаты моделирования с результатами расчетно-практических заданий. Сделайте общие выводы по результатам исследований.