Курсовая работа (т): Конформное отображение

Конформное отображение

Введение

Одним из основных свойств таких простейших геометрических преобразований, как параллельный перенос, поворот, центральная и осевая симметрии, преобразование подобия и гомотетия, является сохранение формы тел и фигур и как следствие - сохранение углов между гладкими кривыми. Подобным свойством обладают также многие другие преобразования, но с той разницей, что свойство сохранения формы выполняется применительно не ко всему телу или фигуре, а лишь к их достаточно малым частям. Более того, при этих преобразованиях, как и при указанных выше простейших преобразованиях, имеет место свойство сохранения углов между кривыми. Такие преобразования, называемые конформными, нашли широкое применение во многих разделах математики и других наук.

КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ - взаимно однозначное отображение областей n-мерного евклидова пространства, сохраняющее углы между кривыми.

1. Комплексная форма записи простейших преобразований плоскости

Известно, что любое комплексное число

z = x +  i*y (x, y  R, i² = -1)

можно единственным образом изобразить как точку M(x; y) или вектор z =(x;y)на плоскости, в результате чего между множеством С комплексных чисел и координатной плоскостью Oxy, а также множеством векторов на плоскости устанавливается взаимно однозначное соответствие. В связи с этим число z часто называют еще точкой z или вектором z. При этом сумме комплексных чисел

= x + i*y и a = α+ i*β

соответствует сумма векторов z и a, что равносильно параллельному переносу (сдвигу) точки M(x; y) на вектор a (α;β).Таким образом, на плоскости параллельный перенос на вектор a осуществляется комплекснозначной функцией

= z + a.

Пусть точка w получается из точки z поворотом вокруг начала координат на угол α. Запишем число z в тригонометрической форме

= r (cos φ+ i sin φ),

где r = | z | - его модуль (расстояние от точки z до начала координат), а φ = arg z - аргумент (угол между действительной осью Ox и вектором z). Так как число w имеет тот же модуль r, а его аргумент равен φ+α (рис. 1), то

w = r (cos (φ+ α) + i sin (φ + α)) = r (cos φ + i sin φ)(cos a + i sin α),

то есть на плоскости поворот вокруг начала координат на угол a осуществляется функцией w = (cos α + + i sin α)z. В частности, отсюда следует, что симметрия относительно начала координат, представляющая собой поворот вокруг него на угол π, осуществляется функцией w = (cos π + i sin π)z = - z.

Аналогично показывается, что гомотетия с коэффициентом k (k=0), в частности преобразование подобия с коэффициентом k (k > 0), и центром в начале координат осуществляется функцией w = kz.

Для описания приведенных выше преобразований плоскости относительно точки z₀ надо в соответствующих функциях заменить z на z - z₀. Например, поворот на угол α = π/2 вокруг точки z₀ = 1 + i осуществляется функцией

w= ( cos π/2 + i*sin π/2)(z-1-i)=iz+1-i

а симметрия относительно этой точки - функцией

w = - (z - 1 - i) = - z + 1 + i.

С помощью комплексной переменной описываются и более сложные преобразования плоскости, каковым, например, является инверсия с коэффициентом k (k > 0) и центром в точке z₀, которая точке z ставит в соответствие точку w, лежащую вместе с z на одном луче, выходящем из точки z₀ , и удовлетворяющую условию | z - z₀| *| w - z₀| = k (рис. 2). Данное преобразование осуществляется функцией

w = z₀ + k/(z-z₀) .

В частности, инверсия (симметрия) относительно окружности | z - z₀ | = R, определяемая как инверсия с коэффициентом k = R ² и центром в точке z₀ , осуществляется функцией w = z₀ + R ² /(z-z₀) Аналогично симметрия относительно прямой ax + by = c, называемая еще инверсией, осуществляется функцией:

W= (z(b²+a²-2abi)/(a²+b²))+((2c( a+ b*i ))/(a²+b²)= (z(b2+a2-2abi)+(a+ bi))/(a2+b2)

В частности, инверсия относительно оси абсцисс y = 0 осуществляется функцией w=z . Точки, получаемые друг из друга в результате инверсии относительно окружности (или прямой), называются симметричными относительно этой окружности (или прямой). Например, инверсия относительно окружности | z - 1 - i | = 1 с центром в точке z₀ = 1 + i и радиуса 1 осуществляется функцией w = 1 + i + 1/( z-1+i) , используя которую, в частности, найдем точку, симметричную точке z = 0 относительно данной окружности:

W=1+i+ (1/(i-1))=(1/2)*(1+i)

Записав функцию w = 1 / z в виде w=(1/z) ,видим, что она представляет собой суперпозицию w == f₂( f₁(z)) двух функций f₁ (z)=1/z , f₂(z)= z.Следовательно, отображение, осуществляемое функцией w = 1/ z, равносильно последовательному выполнению (суперпозиции) двух инверсий (симметрий): относительно окружности | z | = 1 и относительно оси абсцисс. По этой причине отображение, осуществляемое функцией w = 1/ z, называют преобразованием двойной симметрии. Аналогично можно показать, что параллельный перенос и поворот равносильны двум инверсиям относительно некоторых прямых, а преобразование подобия - двум инверсиям относительно окружностей.

Рассмотренные в данном пункте преобразования изучаются также в n-мерном евклидовом пространстве. Однако для них в пространстве измерения n ≥ 3 таких удобных форм аналитической записи, как на плоскости, нет.

. Определение и основные свойства комплексного отображения

Непрерывное отображение w = f (z) области D комплексной плоскости С в плоскость С называется конформным в точке z₀  D, если в этой точке оно обладает свойствами постоянства искажения масштаба и сохранения углов.

·              Свойство постоянства искажения масштаба (или постоянства растяжений) в точке z₀ при отображении w = f (z) состоит в том, что при z z₀ отношение | f (z) - f (z₀) | / | z - z₀ | расстояния между образами f (z) и f (z₀) точек z и z₀ к расстоянию между самими точками z и z₀ стремится к определенному пределу k, не зависящему от способа стремления z к z₀ . Число k называется коэффициентом искажения масштаба в точке z₀ при отображении w = f (z).

·        Свойство сохранения (консерватизма) углов в точке z₀ при отображении w = f (z) состоит в том, что любая пара гладких кривых γ₁ , γ₂ (функция f называется гладкой на отрезке, если она имеет непрерывную производную на этом отрезке), расположенных в D и пересекающихся в точке z₀ под некоторым углом α (то есть имеющих касательные в точке z₀ , образующие между собой угол α), переходит при рассматриваемом отображении в пару гладких кривых Г₁ , Г₂ , пересекающихся в точке w₀ = f (z₀) под тем же углом α с учетом направления (рис. 3). Такое отображение называют еще конформным отображением первого рода. Если отображение сохраняет углы между кривыми по абсолютной величине, изменяя их направления на противоположные, то оно называется антиконформным или конформным отображением второго рода. Отображение области D называется конформным, если оно конформно в каждой точке области. Все рассмотренные ранее отображения, кроме инверсии, являются конформными в плоскости С, а инверсия - антиконформным отображением в С.

Из определения конформного отображения непосредственно следует, что если в плоскости изменения комплексной переменной z взять достаточно малый треугольник с одной из вершин в точке z₀ , то он при конформном отображении w = f (z) перейдет в малый криволинейный треугольник с вершиной в точке w₀ = f (z₀) (см. рис. 3). При этом соответственные углы у этих треугольников будут равны как по абсолютной величине, так и по направлению, а отношения их соответственных сторон будут мало отличаться от коэффициента k искажения масштаба. Таким образом, конформное отображение является отображением, сохраняющим форму достаточно малых фигур, то есть преобразованием подобия применительно к малым фигурам.

Доказано, что образ любой области при конформном отображении снова является областью. Основными проблемами теории конформных отображений являются вопрос о возможности (существовании) конформного отображения одной заданной области на другую и задача практического нахождения функций, осуществляющих это отображение. Ответ на первый вопрос в случае односвязных областей дает теорема Римана, согласно которой любые две односвязные области с границами, состоящими более чем из одной точки, можно взаимно однозначно и конформно отобразить друг на друга. Множество всех таких отображений бесконечно, и все они осуществляются аналитическими функциями, то есть функциями, имеющими производную. В частности, из этой теоремы следует, что любую односвязную область указанного типа можно бесконечным числом способов отобразить конформно на единичный круг | z | < 1 или верхнюю полуплоскость Im z > 0, чем часто пользуются в приложениях.

Сложнее обстоит дело со второй проблемой. Найти практически конформное отображение одной области на другую, особенно с помощью элементарных функций, удается не всегда. По сложности эта проблема во многом схожа с проблемой нахождения интегралов функций, существование которых если даже доказано (например, в случае непрерывных функций), но найти их практически не всегда удается. Как и в случае интегралов, данная проблема решена лишь для некоторых определенных типов областей, поэтому она до сих пор остается предметом исследований.

Наряду с конформным отображением плоских областей изучаются также конформные отображения областей в евклидовом пространстве Eⁿ измерения n > 2, которые определяются так же, как и в случае плоскости. Однако конформные отображения в Eⁿ при n > 2 образуют весьма узкий класс. Каждое такое отображение является либо преобразованием подобия, либо суперпозицией преобразования подобия и инверсии. Поэтому они в отличие от плоских конформных отображений не нашли особых приложений. Широкое применение плоских конформных отображений в различных областях науки объясняется, например, следующим. Многие дифференциальные уравнения в частных производных и их системы при замене одних переменных на другие, связанные между собой посредством функций, осуществляющих конформное отображение, либо вовсе не изменяются, либо упрощаются. Таковым является, например, уравнение Лапласа

Если в этом уравнении переменные x, y заменить на новые переменные u,υ, являющиеся действительной и мнимой частью некоторой аналитической функции f (z), то уравнение не изменится. На основании этого многие задачи для уравнения Лапласа в областях сложной структуры сводятся с помощью конформного отображения w = f (z) = u + i υ к аналогичным задачам в более простых областях (круге, полуплоскости и т.д.), в которых решение задачи либо известно, либо находится проще. После этого решение задачи в исходной области получается путем обратной замены переменных.

Примеры конформного отображения.

·        Простейший пример - преобразования подобия <#"815244.files/image006.gif">,  и их образов ,  имеет место соотношение

,

где  - положительное число, называемое коэффициентом подобия.(каждая гометия является подобием)

Рис. 4

Подобные фигуры на рисунке имеют одинаковые цвета.

·              Инверсия <#"815244.files/image013.gif">

Рис. 5

·        Любая голоморфная функция <#"815244.files/image014.gif"> и комплексно дифференцируемая в каждой точке.

Рис. 6

·        Стереографическая проекция <#"815244.files/image016.gif">

Рис. 7

 <#"815244.files/image017.gif">

Рис. 8 Карта поверхности Земли в стереографической проекции

История.

Исследованием конформных отображений занимались Л. Эйлер <#"815244.files/image018.gif">

Черт. 1

В силы этой же причины без искажения пропорций, а следовательно, и без нарушения формы, невозможно изобразить часть земной поверхности (последнюю можно принять за шаровую) на плоскости, т.е. построить карту. Оказывается, однако, что возможно строить карту, не изменяя величины углов между различными линиями земной поверхности.

Пусть нужно построить карту северного полушария, на которой все углы между различными направлениями на земной поверхности изобразятся в натуральную величину. Чтобы наглядно представить себе, как это можно сделать, вообразим большой земной глобус из какого-либо прозрачного материала, например, стекла, закрашенный непрозрачными красками так, что лишь контуры материков, стран и морей в северном полушарии, а также сетка меридианов и параллелей остаются непокрытые краской, и следовательно, прозрачными. Кроме того, можно оставить незакрашенными стороны (криволинейные) какого-либо угла PQR с вершиной в любой точке северного полушария. Если в юном полюсе глобуса впаяна маленькая, но яркая электрическая лампочка, а перед глобусом перпендикулярно к его оси помещён экран, то в тёмной комнате мы увидим на экране контурную карту северного полушария (черт.1).

Можно доказать геометрически, что на такой карте (она называется картой стереографической проекции) все углы между любыми линиями на глобусе в северном полушарии изобразятся в натуральную величину. В частности, в натуральную величину отобразится угол PQR.

Если источник света (лампочку), откуда исходят проектирующие лучи, поместить в северном полюсе глобуса, то этим же путём можно получить карту южного полушария также с сохранением натуральной величины углов. Каждая из полученных указанным путём карт представляет некоторую плоскую фигуру: если её подвергнуть конформному отображению, она перейдёт в новую фигуру, которую также можно рассматривать как географическую карту. Так как при конформном отображении углы не изменяются, то на новой карте будут сохраняться натуральные величины углов между направлениями на земной поверхности. На черт.2 слева изображена карта Гренландии в стереографической проекции, а справа - карта, которая получается из предыдущей ,если ко всем её точкам применить преобразование по формуле:

Черт.2

Здесь в качестве основания логарифмов берётся так называемое неперово число e=2,71828.,а Arg z измеряется не в градусах, а в радианах.

Без сомнения, формула эта выглядит сложной и искусственной. Карта, получившаяся в результате такого преобразования, была построена около 400 лет назад голландским учёным Меркатором. Она получила с тех пор большое распространение в навигации. Её преимущества перед картой, выполненной в стенографической проекции, состоят в том, что здесь не только меридианы, но и параллели изображаются прямыми линиями ;более того, прямыми линиями здесь изображаются также любые пути на поверхности Земли ,вдоль которых стрелка компаса сохраняет неизменное направление.

Наиболее важные применения конформных отображений относятся к вопросам физики и механики. Во многих вопросах, где речь идёт, например, об электрическом потенциале в точках пространства, окружающих заряженный конденсатор, или о температуре вокруг нагретого тела, о скоростях частиц в жидкости или газе, в потоке, движущемся в некотором канале и обтекающем при этом какие-либо препятствия и т.п. Такие задачи могут быть разрешены без больших трудностей в случае, когда встречающиеся в них тела имеют особенно простую форму(например ,в виде плоских пластин или круговых цилиндров).Однако расчёт нужно производить и во многих других случаях. Например, чтобы рассчитать самолёт при его конструировании, нужно уметь подсчитывать скорости частиц воздуха в потоке, обтекающем крыло самолёта.