Курсовая работа (т): Конформное отображение

Для того, чтобы свести задачу о скоростях частиц потока воздуха, обтекающего крыло самолёта, к более простой задаче обтекания круглого цилиндра, достаточно конформно отобразить фигуру, заштрихованную на черт.3,а (внешность профиля крыла) на заштрихованную фигуру черт.3,б(внешность окружности).Такое отображение осуществляется посредством некоторой функции комплексного переменного.

Черт. 3

Подобным же образом конформное отображение позволяет сводить решение задач о расчёте электрического потенциала и температур от случая тел произвольной формы (любого профиля сечения) к простейшим случая, где задача уже является решённой.

Всё сказанное выше о применении конформного отображения к вопросам картографии, механики и физики не сопровождалось никакими доказательствами. Рассмотрим простейшие рациональные функции, с помощью которых можно выполнить некоторые конформные отображения. Вот функции, о которых пойдёт речь:

 дробно-линейная функция

Последняя из них носит имя знаменитого русского учёного Николая Егоровича Жуковского(1847-1921).Такое название дано, потому что Н.Е. Жуковский успешно применял её к решению некоторых вопросов теории самолёта. В частности, он показал, как с помощью этой функции можно получать некоторые профили крыла самолёта, имеющие и теоретическое и практическое значение.

дробно-линейная функция.

a, b - неравные между собой комплексные числа. Покажем, что посредством этой функции каждая дуга PLQ окружности, соединяющая точки a и b,преобразуется в некоторый прямолинейный луч P’L’,выходящий из начала координат, причём угол между положительным направлением действительной оси и этим лучём равен углу между направлением baN и касательной к дуге окружности в точке a.(черт.4)

Черт.4

Пусть точка z лежит на дуге PLQ (черт.4 слева); докажем ,что её образ, т.е.соответствующая ей точка , должен лежать на луче P’L’(черт. 4 справа).Чтобы построить вектор z’,нужно знать длину этого вектора и угол наклона к положительной части действительной оси(Arg z).Но z’ есть частное комплексных чисел z-a и z-b, изображаемых векторами PR и QR.Поэтому, , а Arg z равен углу SPR(вектор PS имеет такую же длину и направление, как и QR),отсчитываемому в направление от PS к PR. Очевидно, что ) и, следовательно, измеряется половиной дуги QMP. Половиной этой же дуги измеряется и угол NPT. Поэтому,  . Итак, при любом положении точек z на дуге PLQ соответствующие точки  имеют один и тот же аргумент .. А это означает, что все эти точки лежат на одном и том же луче P’L’, наклонённом к положительной части действительной оси под углом .. Этот вывод справедлив и в том случае, когда PLQ-не дуга окружности, а прямолинейный отрезок PQ. Тогда нужно считать угол =180 градусов и луч P’L’ совпадающим с отрицательной частью действительной оси.(черт.5)

черт.5

В самом деле, если z лежит на отрезке PQ, то векторы, изображающие z-a и z-b,направлены в прямо противоположные стороны. Отсюда следует, что частное  есть действительное отрицательное число, т.е. z’ лежит на отрицательной части действительной оси. Образы точки заполняют весь луч.

2)

Известно, что углы с вершинами в некоторых исключительных точках могут изменяться в несколько раз. В данном случае имеется такая исключительная точка: это-начало координат А.Все углы с вершиной в точке А увеличиваются вдвое при преобразовании

Возьмём луч АМ, выходящий из точки А и составляющий угол с положительной частью действительной оси. (черт.6)

Черт.6

Для каждой точке z ,лежащей на этом луче, . Так как вектор  получается из вектора z путём растяжения в  Раз и поворота на угол ,то ,а  Поэтому точка z’ должна лежать на луче А’М’, выходящем из точки A’ и составляющим с положительной частью действительной оси угол если точка z будет перемещаться по АМ, начиная от точка А и далее, неограниченно отодвигаясь от неё, то соответствующая точка z’ будет перемещаться по A’M’,начиная от точки A’ и далее ,неограниченно отодвигаясь от неё; при этом расстояние от z’ до A’ всегда будет равняться квадрату расстояния от z до А 

Отсюда следует, что функция  преобразует луч АМ в луч A’M’, наклонённый к оси A’x’ под углом, вдвое большим по сравнению с первоначальным углом наклона.

Легко понять, что луч АР, составляющий с Ax угол (АМ и АР лежат на одной прямой), преобразуются посредством функции в тот же луч A’M’.В самом деле, если угол , удвоить, то получится луч, наклонённый к A’x’ под этим углом совпадает с A’M’.

Посмотрим, во что преобразуется посредством функции  фигура, заштрихованная на черт.6 слева; она называется полуплоскостью. Полуплоскость можно рассматривать как заполненную бесчисленным множеством лучей, выходящих из А и наклонённых к Ax под углами, большими ,но меньшими .лучи АМ и АР составляют границу полуплоскости (одну прямую). Функция преобразует лучи, принадлежащие полуплоскости, во всевозможные лучи ,выходящие из A’ и наклонённые к A’x под углами, большими ,но меньшими .

Отсюда следует, что полуплоскость, ограниченная лучами АМ и АР, преобразуется в фигуру A’M’(черт.6 справа). Последнюю фигуру можно охарактеризовать как плоскость с выброшенным или исключённым) лучём A’M’.Эта фигура образована всеми точками плоскости, кроме точек, лежащих на A’M’.если в полуплоскости взять какие -либо два луча AQ и AR,наклонённые к Ax под углами  и Они составят между собой .В результате преобразования  эти лучи перейдут в A’Q’ и A’R’,наклонённые к A’x’ под углами .Очевидно, что угол Q’A’R’ равен

Итак, углы с вершиной в точке А удваиваются при преобразовании , иными словами, конформность отображения нарушается в точке А.

Углы с вершиной в любой точке не изменяются при преобразовании .

Пусть L - какая-либо кривая, выходящая из точки .Если на L взять точку ,отличную от ,то направление секущей, соединяющей эти точки ,будет совпадать с направлением вектора ,изображающего разность  (черт. 7 слева)посредством функции кривая L преобразуется в некоторую кривую L’,а точки -в новые точки лежащие на кривой L’.Очевидно, что направление секущей, соединяющей  совпадает с направлением вектора изображающего разность (черт .7 справа).

Черт. 7

Сравним между собой направления двух секущих; для этого достаточно сравнить между собой направления векторов .Так как угол между ними, отсчитываемый от вектора к вектору ,совпадает с аргументом частного,то всё сравнение сводится к подсчёту.Частное можно преобразовать, заменив их выражениями:

Получим:

Следовательно, угол между направлениями секущих к кривым L’ и L ,проведённых через пары соответствующих точек  (на L) и  (на L’), равен . Переходя от секущих к касательным, будем неограниченно приближать точку по кривой L к точке

Тогда и точка  будет неограниченно приближаться по кривой L’ к точку . Поэтому секущие будут неограниченно приближаться к касательным, проведённым в точках  а угол между секущими- к углу между касательными. Но угол между секущими равен  и при стремлении  стремится к  последний же совпадает с Итак, угол между касательными к кривым  проведённым в соответствующих точках  и  равен .Если, например,  отсюда следует, что направление касательной в точке  к любой кривой L,проведенной через эту точку, будет совпадать с направление касательной в точке  в кривой L’, в которую функция   преобразует L.Если следовательно ,касательная в точке к любой кривой L,проведённой через эту точку , и касательная в точке   к образу кривой L’взаимно перпендикулярны.

Возвращаясь к общему случаю, можно сказать, что касательные поворачиваются на угол, равный когда кривые, проходящие через точку  преобразуются посредством функции

Способ, которым доказана конформность отображения  применим и к другим функциям, например, к дробно-линейной  или функции Жуковского . Только здесь получаются другие выражения для угла поворота касательной. Так, для дробно-линейной функции получится, что касательные к кривым, проходящим через точку  поворачиваются на угол  а в случае функции Жуковского - на угол, равный  (в первом случае ,во втором-)

Рассмотрим, во что преобразуется посредством функции окружность, проходящая через точку А в полуокружности всевозможные лучи и отметим на каждом из них точку пересечения с окружностью. На данном чертеже для определённости изображены 7 лучей; все углы , взяты равными между собой .Функция преобразует их в лучи, составляющие между собой вдвое большие углы; каждый из углов  равен 45 градусов.

Подсчитаем, куда перейдут точки Расстояние их образов от точки будут равны квадратам расстояний  Но из черт.7 видно  (D-диаметр окружности), далее . Остаётся заметить, что 

0,8535…

Следовательно,

Через точки  проходит кривая, являющаяся образом окружности при преобразовании  Чтобы получить о ней более точное представление, можно было бы брать большее количество лучей. Кривая эта называется кардиоидой (пер.сердцеобразная).Легко понять, что фигура, заштрихованная на черт.7 слева(она получается из полуплоскости путём выбрасывания круга),преобразуется посредством функции в фигуру, заштрихованную на том же чертеже справа. Последняя ограничена кардиоидой и лучом A’M’, составляющим угол с положительным направлением действительной оси. Луч A’M’ направлен по касательной к каждой из двух дуг кардиоиды, выходящих из точки А.

Функция Жуковского.

Применим функцию к преобразованию фигуры, ограниченной двумя окружностями: одной, проходящей через точки -1 и +1, и другой, касающейся первой изнутри в точке 1; на черт.8 эта фигура заштрихована.

черт.8

Убедимся сначала, что преобразованиеможно свети к нескольким выполняемым друг за другом функциям более простым преобразованиям. Рассмотрим отношение, заменяя в нём выражением , найдём: