Документ: Кратные и криволинейные интегралы, страницы 1-5

Галкин С.В.

Кратные, криволинейные интегралы, теория поля, числовые и функциональные ряды

(конспект лекций для студентов МГТУ им. Н. Э. Баумана)

Москва.

2

Часть1 Кратные и криволинейные интегралы, теория поля.

Лекция 1. Двойной интеграл.

Задача об объеме цилиндрического тела.

Копределенному интегралу мы пришли от задачи о площади криволинейной трапеции.

Кдвойному интегралу мы приходим, решая задачу об объеме цилиндрического тела.

-Рассмотрим, например, прямой круговой цилиндр с высотой h и радиусом основания R его объем равен V R2h

-Объем цилиндра той же высоты, в основании которого лежит эллипс с полуосями

a, b равен V abh.

-Объем цилиндра той же высоты, с площадью основания S , равен V Sh.

Пусть надо вычислить объем цилиндрического тела, в основании которого лежит

область D с площадью S , а высота h изменяется от точки к точке так, что конец ее

описывает некоторую

поверхность

(h f (M(x, y))).

Тогда

логично

разбить

областьD на области малого размера – организовать разбиение области на области –

элементы разбиения. На каждом элементе отметим точку M(x,y) и построим над этим

элементом прямой круговой цилиндр, высота которого постоянна для всех точек

элемента и равна

h f (M(x, y)). Вычислим объем этого элементарного

цилиндра.

Просуммируем объемы всех элементарных цилиндров. Эта сумма и даст приближенно

искомый объем цилиндрического тела тем точнее, чем меньше будут размеры

элементов разбиения. Этот алгоритм используем для построения двойного интеграла

Двойной интеграл1

f (x, y)dS .

D

1.

Организуем

разбиение

области

D на

z

f (Mi )

элементы –

области

Di так,

чтобы эти

z f (x, y)

элементы не

имели

общих внутренних

n

точек иD Di (условие А)

i 1

y

2.

Отметим

на

элементах

разбиения

«отмеченные точки» Mi

и вычислим в

них значения функции f (Mi ) f (xi , yi )

3.

Построим

интегральную

сумму

n

Mi

D

f (Mi ) si

, где si

- площадь Di

i

i 1

x

4.

Переходя

к

пределу

при

условии

maxi diam( Di

) 0

(условие

В),

получим двойной интеграл как предел

интегральных

сумм:

f (x, y)dS limmaxi diam( Di

n

) 0 f (Mi ) si

D

i 1

1 Здесь рассматривается упрощенный вариант построения интеграла, более общий вариант рассмотрен в седьмом выпуске учебника «Математика в техническом университете» под ред. проф. В.С. Зарубина и проф. А.П. Крищенко М. Изд. МГТУ им. Н.Э. Баумана 2001 (далее просто учебник).

3

Теорема существования2.

Пусть функция f (x, y)непрерывна в замкнутой односвязной области D3. Тогда двойной интеграл существует как предел интегральных сумм.

f (x, y)dS limmaxi diam( Di ) 0	n
f (x, y)dS limmaxi diam( Di ) 0	f (Mi ) si .
D	i 1

Замечание4. Предел этот не зависит от

-способа выбора разбиения, лишь бы выполнялось условие А

-выбора «отмеченных точек» на элементах разбиения,

-способа измельчения разбиения, лишь бы выполнялось условие В

Свойства двойного интеграла5.

1. Линейность

а) свойство суперпозиции ( f1(x, y) f2 (x, y)dS .= f1(x, y)dS + f2 (x, y)dS

D D D

б) свойство однородности f (x, y)dS = f (x, y)dS

D D

Доказательство. Запишем интегральные суммы для интегралов в левых частях равенств. Они равны интегральным суммам для правых частей равенств, так как число слагаемых конечно. Затем перейдем к пределу, по теореме о предельном переходе в равенстве получим желаемый результат.

2. Аддитивность.

ЕслиD D1 D2 , то f (x, y)dS = f (x, y)dS		+ f (x, y)dS
D	D1	D2

Доказательство. Выберем разбиение области D так, чтобы ни один из элементов разбиения (первоначально и при измельчении разбиения) не содержал одновременно как элементы D1, так и элементы D2. Это можно сделать по теореме существования (замечание к теореме). Далее проводится доказательство через интегральные суммы, как в п.1.

3.	dS SD - площадь области D.
	D	f (x, y) g(x, y), то
4.	Если в области D выполнено неравенство	f (x, y) g(x, y), то

f (x, y)dS g(x, y)dS (неравенство можно интегрировать).

D D

Доказательство. Запишем неравенство для интегральных сумм и перейдем к пределу. Заметим, что, в частности, возможно g(x, y) 0

5. Теорема об оценке.
Если существуют константы m,M , что x, y D	m f (x,y) M , то
mSD f (x,y)dS MSD
D

2Здесь рассматривается непрерывная функция, более общий вариант см. в седьмом томе учебника

3Далее граница области предполагается кусочно-гладкой

4Это замечание относится ко всем рассматриваемым далее интегралам

5При обсуждении свойств предполагается выполнение условий теоремы существования

4

Доказательство. Интегрируя неравенство m f (x,y) M (свойство 4), получим

mdS f (x, y)dS MdS . По свойству 1 константы m,M можно вынести из-под

D D D

интегралов. Используя свойство 3, получим искомый результат.

6. Теорема о среднем (значении интеграла).

Существует точка с(xc ,yc ) D, что

f (c)

1

D

f (x,y)dS .

SD

Доказательство. Так как функция

f (x,y)непрерывна на замкнутом ограниченном

множестве D, то существует ее

нижняя

грань infD

f (x,y) и

верхняя грань

supD

f (x,y) . Выполнено неравенство x,y D

SD f (x,y)dS SD . Деля

1

D

1

обе части на SD ,

получим

f (x,y)dS . Но

число

f (x,y)dS

SD

D

SD D

заключено между

нижней

и верхней

гранью

функции.

Так

как

функция

f (x,y)непрерывна на замкнутом ограниченном множестве D,

то в некоторой точке

с D

функция

должна

принимать

это

значение.

Следовательно,

f (c)

1

f (x,y)dS .

SD

D

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что существует цилиндр постоянной

высоты f (c), объем которого равен объему цилиндрического тела

f (x,y)dS

D

Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат.

Предположим, что D – плоская область, лежащая в некоторой плоскости и введем в

этой плоскости декартову систему координат.

Область D назовем правильной, если любая прямая, параллельная декартовым осям, пересекает ее не более чем в двух точках.

Можно показать, что замкнутую ограниченную область с кусочно-гладкой границей можно представить в виде объединения правильных областей, не имеющих общих внутренних точек. Поэтому интеграл по области D можно вычислять как сумму интегралов (свойство 2) по правильным областям. Будем считать, что нам надо вычислить двойной интеграл по правильной области.

z		f(x,y)		Вспомним формулу для вычисления объема тела
			S(x)	по площадям параллельных сечений


				b
				V S(x)dx, где a,b - «крайние» точки области
				V S(x)dx, где a,b - «крайние» точки области
				a
			y	D по x., S(x)- площадь сечения тела одной из
				параллельных плоскостей (при фиксированном
				x). Эта плоскость пересекается с плоскостью
			(x)	OXY по прямой,	параллельной	оси OY,
			(x)	OXY по прямой,	параллельной	оси OY,
a		D		соединяющей точку	входа в область (x) с
	(x)			соединяющей точку	входа в область (x) с
	x			точкой выхода (x). Графики функций (x), (x)
				точкой выхода (x). Графики функций (x), (x)
	b				(x)
	b			образуют границу области D. S(x)=		f (x, y)dy-
		x		образуют границу области D. S(x)=		f (x, y)dy-

(x)

площадь криволинейной трапеции..

								5
						b (x)
Подставляя	S(x)в формулу	для	объема, получим		V		(x, y)dy
Подставляя	S(x)в формулу	для	объема, получим		V	f	(x, y)dy	dx. Это
						a (x)
повторный интеграл,	вернее один из них. Второй повторный интеграл можно получить,
				d (y)
вводя сечения, параллельные оси OX.		По	аналогии V		f (x, y)dx
вводя сечения, параллельные оси OX.		По	аналогии V		f (x, y)dx		dy . По смыслу
				c	(y)

двойного интеграла (объем цилиндрического тела)

b (x)

d

(y)

f (x, y)dx

f (x, y)dy

dx =

f (x, y)dS =

dy V

a (x)

D

c (y)

Примеры.

Записать двойной интеграл по заданной области и повторные интегралы.

1.

x2 y2 1

y

1

1 x2

1

1 x2

1.

1

f (x, y)dxdy

f (x, y)dy dx

dx

f (x, y)dy=

x 0

x

D

0 1 x2

0

1 x2

1

1 y2

1

1 y2

f

(x, y)dx dy= dy f (x, y)dx

1

0

1

0

y x 1

y

f (x, y)dxdy

0 x 1

1 x 1

f (x, y)dy dx+

f (x, y)dy dx=

2.

y 1 x

D

1 x 1

0 x 1

y x 1

x

0

y 1

1 y 1

f (x, y)dx dy +

f (x, y)dx dy

y x 1

1 y 1

0 y 1

y 0

y

2

1 x

y 1

2

e

y 1

e

dy

dxdy =

dx( внутренний интеграл не

3.

x 1

x

D

0 0

y x

берется)=

1 1

2

1

2

1

2

1

e(y 1)

dx dy = (1 y)e y 1 dy

e y 1

|0

(e 1)

0

2

0 y

Геометрический и физический «смысл» двойного интеграла.

К двойному интегралу f (x, y)dS мы пришли от задачи об объеме цилиндрического

D

тела, расположенного над областью D с переменной высотой f (x, y).

В этом и состоит его геометрический смысл.

Можно рассмотреть задачу о массе плоской пластины, представляющей собой плоскую область D, плотность которой равна f (x, y), т.е. меняется от точки к точке. Достаточно ассоциировать переменную плотность с переменной высотой в задаче об объеме, чтобы понять, что мы имеем ту же модель.

Поэтому физический смысл двойного интеграла заключается в том, что f (x, y)dS

D

равен массе плоской области D, плотность которой равна f (x, y).

Материал: Кратные и криволинейные интегралы

Смотрите также: