Материал: Кратные и криволинейные интегралы

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

По доказанному выше limn S2n S . Следовательно, предел правой части равенства существует и равен S . Поэтому предел левой части равенства тоже существует и равен

limn S2n 1 S .
Раскроем определение предела 0	N( ), n N		Sn	S	как для четных n, так
Раскроем определение предела 0	N( ), n N		Sn	S	как для четных n, так
и для нечетных n. Следовательно,	это справедливо			для любых n N ,		поэтому
limn Sn S .
Из доказанного выше неравенства	0 S2n v1 .	Переходя			к пределу,	получим

0 S v1, т.е. S v1 .

Следствие. | Rn | | an 1 |. Остаток ряда оценивается модулем первого отброшенного

члена ряда.

Доказательство. Так как остаток знакочередующегося ряда тоже знакочередующийся ряд, то его сумма по признаку Лейбница оценивается модулем его первого члена.


То есть \| Rn \|	an	an 1	. А первый член остатка ряда и есть первый отброшенный
	k n 1

член.

Пример. Ряд 1 1 1 1 ...

2 3 4

a	n	( 1)n 1	1	,	v	n	1	. Ряд сходится по признаку Лейбница. Ряд из модулей –
			n				n

расходящийся гармонический ряд. Следовательно, ряд сходится условно.

Rn n 1

Функциональные ряды

Лекция 13. Равномерно сходящиеся ряды.

Функциональный ряд – это ряд un(x), члены которого – функции un (x),

n 1

определенные в некоторой области V.

Определим частичную сумму ряда – тоже функцию Sn (x) u1(x) ... un (x).

Зафиксировав некоторую точку x, мы имеем дело с обычным числовым рядом.

Функциональный ряд un (x) называется сходящимся в точке x, если Sn (x) сходится

n 1

к S(x) или

0 N , x , что n N Sn (x) S(x) un 1(x) ... .

Это - обычная или поточечная сходимость ряда, так как номер N зависит не только от, как в числовых рядах, но и от точки x. То есть в каждой точке x ряд сходится со своей скоростью.

Критерий Коши поточечной сходимости ряда. Это – критерий Коши для последовательности частичных сумм ряда.

		57

Для того чтобы функциональный ряд un (x) сходился		в точке x, необходимо и
n 1
достаточно, чтобы 0 N( ,x), n N, p 0	Sn p (x) Sn (x)		un 1(x) ...un p (x)	.
достаточно, чтобы 0 N( ,x), n N, p 0	Sn p (x) Sn (x)		un 1(x) ...un p (x)	.

Все точки, в которых ряд сходится, составляют область сходимости ряда.


Примеры. 1) Ряд n! xn	сходится только в точке x 0, во всех остальных точках ряд
n 1
расходится. V : 0 .

2)Ряд n 1 n! сходится во всех точках оси, V R .

( 1)n xn

3)Ряд n сходится в области V ( 1,1].n 1

	1
4) Ряд		расходится во всех точках оси V .
	n cosx
n 1

Функциональный ряд un (x) называется равномерно сходящимся в области V, если

n 1
0 N , что n N, x V	Sn (x) S(x) un 1(x) ... .

Здесь номер N зависит только от , но не от точки x, поэтому номер N выбирается сразу для всей области V. Ряд сходится с одной и той же скоростью для всех точек области V. Такая сходимость напоминает сходимость числовых рядов. Действительно, равномерно сходящиеся ряды обладают очень полезными свойствами, которые мы обсудим ниже.

Критерий Коши равномерной сходимости ряда.

Для того чтобы функциональный ряд un (x) равномерно сходился в области V,

n 1

необходимо и достаточно, чтобы

0 N( ), x V, n N, p 0 Sn p (x) Sn (x) un 1(x) ...un p (x) .

Признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда.

Пусть члены функционального ряда un (x)можно мажорировать (ограничить по модулю) в области V членами сходящегося числового знакоположительного ряда,

un (x) cn , x V, cn C .

n 1

Тогда функциональный ряд un (x)равномерно сходится в области V.

n 1

Доказательство. Так как числовой ряд сходится, то для него выполнен критерий

Коши 0 N( )

n N, p 0

cn 1 ... cn p

cn 1 ... cn p (ряд

знакоположителен,

ck 0).

Тогда 0

N( ), x V, n N, p 0

un 1(x)

un p (x)

un 1(x)

un p (x)

cn 1 ... cn p

Следовательно, выполнен критерий Коши равномерной сходимости ряда, и ряд

un (x) сходится в области V равномерно.

n 1

	sin	nx		sin	nx	1		1
Пример. Ряд			сходится равномерно в R, так как				, а ряд		-
	n	2		n	2	2		2
n 1						n	n 1	n

сходящийся числовой ряд.

Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов.

Теорема о непрерывности суммы ряда.

Пусть члены un (x) функционального ряда un (x) - непрерывные функции в точке x0 -

n 1

внутренней точке области V. Пусть ряд

n 1

сумма функционального ряда – непрерывная

un (x) сходится равномерно в области V. Тогда функция в точке x0 V .

Доказательство. Так как ряд сходится равномерно в V, то


					0 N( ), n N, x V							Sn (x) S(x)					, в частности							Sn (x0 ) S(x0 )		.
				3												3									3
				3												3									3
		Так как un (x)- непрерывные функции в точке																x0 , то и Sn (x)непрерывна в									x0 как
сумма конечного числа непрерывных функций.
		Зафиксируем						n>N.								По					непрерывности						Sn (x)
							x x0				Sn (x) Sn (x0 )
		0 ( ) 0,													.
	3													3
	3													3
		Оценим				S(x) S(x0 )				S(x) Sn (x) Sn (x) Sn (x0 ) Sn (x0 ) S(x0 )
		Оценим				S(x) S(x0 )				S(x) Sn (x) Sn (x) Sn (x0 ) Sn (x0 ) S(x0 )
			S(x) Sn (x)\| \| Sn (x) Sn (x0 )\| \| Sn (x0 ) S(x0 )
																							.
																			3	3		3
																			3	3		3
		Итак 0 ( ) 0,							x x0				S(x) S(x0 )					,		то есть сумма функционального
		Итак 0 ( ) 0,							x x0				S(x) S(x0 )					,		то есть сумма функционального

ряда – непрерывная функция в точке x0 V .

Теорема о почленном переходе к пределу.


Пусть limx x0		un (x) cn , ряд un (x) равномерно сходится к S(x) в V.
				n 1

Тогда ряд сn C limx x0 S(x)				(ряд из cn сходится к limx x0 S(x)).
n 1
(без доказательства).
Заметим, что суть теоремы содержится в формуле.

limx x0	un	(x)	limx x0 un (x) , что и оправдывает название теоремы.
n 1			n 1

Теорема о почленном интегрировании.

					59

Пусть un (x)	непрерывны в V,	пусть ряд un (x) равномерно сходится в V. Тогда ряд
		n 1
b	b
un (x)dx сходится к S(x)dx, где S(x) un (x), a,b V,a b ,				то	есть
n 1 a	a	n 1
функциональный ряд можно почленно интегрировать.
			b	b
Заметим, что суть теоремы содержится в формуле			un (x)dx un (x)dx.
			a n 1	n 1 a

Доказательство. Так как ряд		un (x) равномерно сходится в V, то его сумма S(x)
		n 1
			b
непрерывна (теорема о непрерывности суммы ряда) и S			S(x)dx

		a
	b
Так как un (x)	непрерывны, то un (x)dx un . Составим ряд
	a
b		b
что он сходится к S(x)dx. Обозначим частичную сумму Sn		uk
a		k 1 a

un (x)dx, покажем,

n 1 a

(x)dx Sn (x)dx

Так как ряд

un (x) равномерно сходится в V, то n N

Sn (x) S(x)

, x V .

Оценим

n 1

S Sn

S(x)dx Sn (x)dx

S(x) Sn (x) dx

S(x) Sn (x)

dx dx b a .

Теорема о почленном дифференцировании.

	Пусть un (x), un (x)								(x)
	Пусть un (x), un (x)				непрерывны в . V Пусть ряд un (x)			сходится в V, а ряд un	(x)
							n 1	n 1

	.равномерно сходится в V.					Тогда ряд un (x) можно почленно дифференцировать,
							n 1

причем ( un (x) ) = un (x).
		n 1		n 1

	Доказательство.				Так как	ряд	un (x) сходится	равномерно, то его	сумма
							n 1
	x
S	x	un x	-	непрерывная функция (теорема о непрерывности суммы ряда). Ее можно
		n 1
интегрировать, применяя теорему о почленном интегрировании.
	x		x			x
	S(x)dx un				(x)dx un dx un (x) un (a) S(x) S(a)
	a		a n 1		n 1 a		n 1

Дифференцируя, получим S x S , то есть S(x)

n 1



un	(x) S	(x)

n 1

un (x) .

Лекция 14. Степенные ряды.

Степенным рядом называется ряд вида

an (x x0 )n a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 ... an (x xo )n ...

n 0

Степенной ряд заведомо сходится при x x0 ,

x0 - центр сходимости ряда.

Теорема Абеля.

1) Пусть степенной ряд сходится в точке

x1 x0 . Тогда он абсолютно сходится в

интервале

x x0

x1 x0

, симметричном относительно x0 .

2) Пусть степенной ряд расходится в точке

x1 x0 . Тогда он расходится в области

x x0

x1 x0

Доказательство.

1) Пусть степенной ряд сходится в точке x1 x0 , тогда числовой ряд

an (x1 x0 )n сходится. Тогда по необходимому признаку сходимости ряда

n 0

(x x

)n 0. Тогда 0 N( ) 0, n N

(x x

Рассмотрим произвольное, но фиксированное x:

x x0

(x x

(x x0 )n

x x0

qn (x) ,

Оценим

n (x1 x0 )n

x x

где q x

x x0

1в области

x x

, n N .

x1 x0

По

первому

признаку

сравнения

числовых

знакоположительных

рядов ряд

x x0

сходится в

указанной

области

(сравнение

бесконечно

убывающей

n 0

геометрической

прогрессией

qn , 0 q 1.

Следовательно,

в области

n 0

x x0 x1 x0 степенной ряд абсолютно сходится.

2)Пусть степенной ряд расходится в точке x1 x0 . Рассмотрим x: x x0 x1 x0 .

Если бы ряд сходился в точке x, то он по п. 1 доказательства сходился бы в точке x1. Противоречие.

Замечание. Для каждой точки x константа q(x) своя. Может не найтись константы, меньшей единицы и ограничивающей сверху константы q(x) для всех точек области V.

Источник: https://studfile.net/preview/16441682/

Смотрите также:




_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Исламское государство': причины возникновения, тенденции развития, технологии противостояния