Материал: Криволинейные и поверхостные интегралы 1 рода

§ 24. Криволинейный и поверхностный

интегралы первого рода

24.1. Пусть f функция n переменных x1, . . . , xn, определенная по крайней мере в точках некоторой кривой γ в Rn. Не оговаривая особо, в дальнейшем для простоты будем считать все рассматриваемые функции непрерывными или по крайней мере кусочно непрерывными. Пусть x1 = x1(t), . . . , xn = xn(t), t ha, bi, параметризация кривой γ, т. е. гладкое невырожденное взаимно однозначное отображение промежутка ha, bi числовой прямой на γ. Определим интеграл от f по кривой γ первого рода, (будем также говорить интеграл от f вдоль γ по элементу длины), полагая

p

где k(t) = (x′1)2(t) + · · · + (x′n)2(t) коэффициент искажения длины, связанный с данной параметризацией. Нетрудно заметить, что коэффициент искажения длины равен модулю вектора скорости при движении по кривой, или, иначе, длине вектора (x′1(t), . . . , x′n(t)), касательного к кривой γ в точке t ha, bi.

В определении криволинейного интеграла 1-го рода участвует параметризация кривой. Однако значение интеграла не зависит от параметризации и тем самым полностью определяется кривой γ и функцией f. Символ ds в обозначении интеграла указывает на то, что интеграл берется по элементу длины кривой.

Для размерностей n = 2 и n = 3 для точек (x1, . . . , xn) используют более привычные обозначения (x, y) и (x, y, z) соответственно.

Согласно определению интеграла для его нахождения следует параметризовать кривую (если она задана не параметрически), перенести функцию в область параметров и найти интеграл вида (24.1) по промежутку.

24.2. Криволинейный интеграл обладает обычными для интеграла свойствами линейности (относительно функции при фиксированной кривой) и аддитивности (относительно кривой при фиксированной функции). Приведем точную формулировку.

Утверждение 1 (линейность интеграла). Пусть даны кривая

1

γRn и заданные на ней функции f(x1, . . . , xn) и g(x1, . . . , xn). Тогда

Z

(αf(x1, . . . , xn) + βg(x1, . . . , xn)) ds

Утверждение 2 (аддитивность интеграла). Пусть кривая γ представлена в виде объединения конечного набора попарно не пересекающихся кривых γ1, . . . , γk. Тогда для функции f, заданной на γ, имеет место равенство

γ

ность x2 + y2 + z2 = a2, x = y.

24.4. Задачи. Найти интегралы от заданных функций по ука-

занным кривым:

Z

(1) (x + y) ds, γ граница треугольника с вершинами (0, 0),

γ

γ

первом квадранте;

Z

(3)y2 ds, где γ арка циклоиды x = a(t−sin t), y = a(1−cos t),

γ

0 ≤ t ≤ 2π;

Z

(4) (x2 + y2 + z2) ds, где γ часть винтовой линии x = a cos t,

γ

y= a sin t, z = bt, 0 ≤ t ≤ 2π.

24.5.С геометрической точки зрения криволинейный интеграл первого рода от единичной функции равен длине кривой, по которой происходит интегрирование.

2

24.6. Задачи. Найти длины кривых:

(1) x = 3t, y = 3t2, z = 2t3 от O(0, 0, 0) до A(3, 3, 2);

(2) x = e−t cos t, y = e−t sin t, z = e−t при 0 < t < +∞.

24.7. Рассмотрим поверхность S в трехмерном пространстве переменных (x, y, z) и определенную на S функцию f(x, y, z). Для простоты будем, не оговаривая, считать, что f кусочно непрерывна. Предположим, что S допускает параметризацию, и пусть отображение ˆ

где k(u, v) коэффициент искажения площади при параметризации

ˆ, называют поверхностным интегралом первого рода от функции f по поверхности S.

Коэффициент искажения k(u, v) находится следующим образом. Рассмотрим векторы

3

Сопоставляя последние формулы с материалом п. 22.18, можно заметить, что они выражают площадь малого куска поверхности вблизи точки (x(u, v), y(u, v), z(u, v)).

Как и криволинейный интеграл первого рода, поверхностный интеграл также обладает свойствами линейности и аддитивности. Точные формулировки аналогичны соответствующим для криволинейно-

го интеграла, и мы оставляем их читателю.

Z Z

S

параболоида z = x2 + y2, выделяемая условием z 6 1.

24.9. Задачи. Найти поверхностные интегралы первого рода от заданных функций по указанным поверхностям:

ZZ

(1)(x2 + y2) dS, где

S

(a) S сфера x2 + y2 + z2 = R2, p

(b) S поверхность конуса x2 + y2 ≤ z ≤ 1;

ZZ

(2)(x2 + y2 + z2) dS, где

S

(a)S сфера x2 + y2 + z2 = R2,

(b)S поверхность куба |x| ≤ a, |y| ≤ a, |z| ≤ a,

ZZ

(3)(xy + yz + zx) dS, где S часть конической поверхности

pS

z = x2 + y2, расположенная внутри цилиндра x2 + y2 = 2x;

Z Z

(4) z2 dS, где S поверхность x = u cos v, y = u sin v, z = v,

S

u [0, 1], v [0, 2π].

§ 25. Криволинейный и поверхностный

4

интегралы второго рода

25.1. Криволинейный и поверхностный интегралы второго рода будем рассматривать в рамках более общей ситуации, а именно как проявления интегрирования дифференциальных форм.

Рассмотрим область Š Rn, и пусть ω(x; v1 , . . . , vk) функция,

зависящая от точки x = (x1, . . . , xn) Š и набора v1, . . . , vk, k N, k ≤ n, векторов пространства Rn. Если ω обладает следующими

свойствами:

(α) при фиксированном x Š она полилинейна и кососимметрична по v1, . . . , vk, т. е. линейна по каждому из v1, . . . , vk при фиксированных остальных и меняет знак при перемене мест любых двух векторов этого из набора;

(β) при каждом фиксированном наборе v1, . . . , vk она гладкая как функция от x (т. е. имеет в Š непрерывные все частные производные первого порядка),

то ее называют дифференциальной формой порядка k или k-формой на области Š.

Вдальнейшем мы будем подразумевать, что переменная x изменяется в некотором открытом множестве, как правило не оговаривая этого отдельно.

Вобозначении дифференциальной формы векторную группу обычно не указывают, более того, и пространственную переменную нередко тоже не указывают.

Совокупность k-форм снабжается обычными (поточечными) операциями сложения форм и умножения их на вещественные числа. Относительно этих операций множество k-форм становится векторным пространством.

Нас будут интересовать дифференциальные формы первого, второго и третьего порядков в R3. Мы будем использовать для переменных привычные обозначения (x, y, z) вместо (x1, x2, x3).

25.2. Начнем с форм первого порядка. Поскольку для форм 1-го порядка полилинейность несколько условна (в векторной группе всего один вектор и говорить о перестановке местами векторов вряд ли имеет смысл), форма 1-го порядка это линейный по вектору функционал. Размерность векторного пространства 1-форм равна трем. Его базис может быть составлен из трех проекторов dx, dy, dz, а именно из функционалов, действующих для любого ξ R3 по формулам

dx(ξ; v) = vx, dy(ξ; v) = vy, dz(ξ; v) = vz, v = (vx, vy, vz).

5