Материал: Криволинейные и поверхостные интегралы 1 рода

Тем самым любая 1-форма ω1 может быть представлена в виде разложения по указанному базису, т. е. в виде

ω1 = P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz.

Форма ω1 полностью характеризуется коэффициентами P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) в ее разложении по базису. Отображение, которое сопоставляет каждому вектору (x, y, z) R3 вектор с координатами P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z), называют векторным полем. Таким образом, каждой 1-форме можно сопоставить векторное поле (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)). Нетрудно понять, что и обратно, каждому векторному полю (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) можно сопоставить 1-форму, у которой коэффициенты в разложении по (каноническому) базису суть координатные функции данного векторного поля.

Учитывая указанную связь между 1-формами и векторными полями, мы в зависимости от удобства или традиций будем говорить либо о 1-форме, либо о векторном поле, называя его при этом силовым полем (причина такого наименования кроется глубоко в физике и мы не будем пытаться ее оттуда достать). Если поле обозначить через F (x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)), то связанную с ним 1-форму будем обозначать через ωF1 .

Пусть γ гладкое одномерное ориентированное многообразие, расположенное в области задания 1-формы ω1 = ωF1 . Пусть ϕ(t) = (x(t), y(t), z(t)), t [a, b] какая-то параметризация γ, согласованная с заданной на γ ориентацией. Тогда интеграл от формы ω1 по многообразию (кривой) γ, обозначаемый через

Z

P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz

Известно, что число (25.1) не зависит от выбора параметризации и тем самым может выступать в качестве определения.

6

Вопределении интеграла от 1-формы (или, иначе говоря, от векторного поля F = (P, Q, R), или криволинейного интеграла второго рода) заложен способ нахождения таких интегралов. При заданных поле F и кривой γ следует параметризовать γ, проверить согласование параметризации с заданной на γ ориентацией и затем, составив выражение (25.1), найти одномерный интеграл по отрезку.

Если параметризация ϕ не согласована с заданной на γ ориентацией, то в (25.1) следует поставить знак минус перед интегралом.

Ориентация одномерного многообразия (кривой) задается указанием ее начала и конца. Если при параметризации ϕ значения ϕ(a), ϕ(b) совпадают соответственно с заданными началом и концом кривой, то параметризация согласована с ориентацией, в противном случае не согласована. Ориентация на кривой может быть также определена заданием на кривой непрерывного поля касательных векторов.

Вкраткой форме определение интеграла от 1-формы можно описать с помощью операции переноса 1-формы из R3 в пространство параметров (замены переменных в дифференциальной форме). Пусть дана 1-форма ωF1 = P dx + Q dy + R dz, где F = (P, Q, R). Пересадим

еев пространство параметров. Пусть ϕ(t) = (x(t), y(t), z(t)), t I, параметризация кривой γ. Определим в пространстве параметров форму ϕ ω, полагая

ϕ ω(t) = P (x(t), y(t), z(t))dx(t) + Q(x(t), y(t), z(t))dy(t)

+R(x(t), y(t), z(t))dz(t)

=(P (x(t), y(t), z(t))x′(t) + Q(x(t), y(t), z(t))y′(t)

+R(x(t), y(t), z(t))z′(t)) dt (25.2)

Втерминах формы ϕ ω определение интеграла от ωF1 выглядит так:

ZZ

γI

Укажем связь между интегралами первого и второго рода. Пусть даны векторное поле F = (P, Q, R) и ориентированная кривая γ (разумеется, лежащая в области определения поля F ). Тогда

где τ (ориентирующий) касательный вектор в точке (x, y, z).

7

25.3.Пример.

25.4.Задачи.

1. Вычислить криволинейные интегралы по кривым γ, пробегаемым в направлении возрастания параметра:

γ

2. Вычислить криволинейные интегралы по кривым, пробегае-

мым от точки A до точки B:

(1) Z 3yx dx − 2xy3

γ

Z

(2) x dy, γ полуокружность x2 + y2 = a2, x > 0, A(0, −a),

γ

B(0, a).

3. Вычислить криволинейные интегралы по отрезкам AB, ори-

ентированным в направлении от точки A до точки B:

Z

(1)(2x − y) dx + (4x + 5y) dy, A(3, −4), B(1, 2);

γ

Z

(2)(4x + 5y) dx + (2x − y) dy, A(1, −9), B(4, −3).

γ

4. Вычислить криволинейные интегралы по кривым, пробегае-

мым в направлении возрастания параметра:

Z

(1) (2a − y) dx + (y − a) dy, γ дуга циклоиды x = a(t − sin t),

γ

y = a(1 − cos t), 0 6 t 6 2π;

06 t 6 π/2.

5.Вычислить криволинейные интегралы по кривым, пробегаемым в направлении возрастания параметра:

8

Z p

(1)yz dx + z a2 − y2 dy + xy dz, γ дуга винтовой линии x =

(2)y dx + z dy + x dz, γ окружность

γ

x = a cos α cos t, y = a cos α sin t, z = a sin α (α = const).

6. Вычислить криволинейные интегралы по отрезкам AB, ори-

ентированным в направлении от точки A до точки B:

Z

(1)x dx + y dy + (x + y − 1) dz, A(1, 1, 1), B(2, 3, 4);

γ

25.5. Займемся интегрированием форм второго порядка. Формы второго порядка образуют 3-мерное векторное пространство, но для того чтобы описать его канонический базис, нам потребуется еще одно понятие.

Рассмотрим какие-либо две 1-формы из канонического базиса, например dx и dy. Дифференциальную 2-форму, обозначаемую через dx dy и действующую при любом ξ = (x, y, z) на векторах u = (ux, uy, uz), v = (vx, vy, vz) следующим образом:

называют внешним произведением форм dx, dy (здесь ux, uy и т. п. означают проекции вектора на соответствующие координатные оси, а не производные по x или по y). Иначе говоря, для нахождения внешнего произведения форм dx, dy следует взять соответствующие координаты векторов и составить из них определитель (т. е. найти площадь проекции векторов u, v на указываемые базисными формами координаты). Подобным образом определяются произведения dy dz и dz dx. Эти три 2-формы и образуют канонический базис векторного пространства 2-форм в R3.

9

Для каждой точки (x, y, z) запишем разложение 2-формы по каноническому базису:

ω2(x, y, z) = P (x, y, z) dy dz + Q(x, y, z) dz dx + R(x, y, z) dx dy.

Из этого разложения видно, что каждой 2-форме сопоставляется векторное поле (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) или, если не указывать координаты точки пространства, поле (P, Q, R). Обратно, каждому векторному полю соответствует 2-форма, в которой координатные функции этого поля служат коэффициентами в разложении формы по каноническому базису. Указанное взаимно однозначное соответствие позволяет вместо 2-форм обращаться к векторным полям, а также вместо векторных полей рассматривать в подходящей постановке 2- формы. При сопоставлении полю (P, Q, R) 2-формы поле называют полем потока и нередко вместо (P, Q, R) используют обозначение a = (ax, ay, az). Но об этом несколько позже.

А сейчас перейдем к определению интеграла от 2-формы, т. е. определим интеграл

Z Z Z Z

ωa2 = P (x, y, z) dydz + Q(x, y, z) dzdx + R(x, y, z) dxdy

SS

(как правило, знак внешнего умножения будем опускать, если это не вызовет недоразумений).

Рассмотрим ориентированную поверхность S и будем считать, что она может быть параметризована одной параметризацией, т. е. пусть существуют область D R2 и гладкое невырожденное взаимно однозначное отображение ϕ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) области D на S. Будем предполагать, что параметризация ϕ согласована с заданной на поверхности ориентацией, т. е. векторы

dϕ(u, v)(e1 ) = (x′u(u, v), yu′ (u, v), zu′ (u, v)), dϕ(u, v)(e2 ) = (x′v(u, v), yv′ (u, v), zv′ (u, v))

ориентированы положительно (в смысле заданной на поверхности ориентации). Если поверхность ориентирована заданием вектора нормали n(x, y, z) в точке (x, y, z) S, то согласованность параметризации с заданной на поверхности ориентацией означает, что определитель матрицы

10