Материал: Криволинейные и поверхостные интегралы 1 рода

Ответы. (1) (a) 0, (b) −πa3/8; (2) −140/3; (3) 0; (4) πR4/4.

26.4.Пункт с примером применения формулы Стокса.

26.5.Задачи. Используя формулу Стокса, вычислить интегра-

лы: Z

(1)y2 dx + z2 dy + x2 dz, где L граница треугольника с вер-

L

шинами в точках (a, 0, 0), (0, a, 0), (0, 0, a), ориентированная положительно относительно вектора (0, 1, 0);

ность x2 + y2 + z2 = R2, x + y + z = 0, ориентированная положительно

относительно вектора (0, 0, 1);

Z

(3)y dx−z dy+x dz, где L кривая x2 +y2 +2z2 = 2a2, y−x = 0,

L

ориентированная положительно относительно вектора (1, 0, 0);

Z

(4)(y2 + z2) dx + (z2 + x2) dy + (x2 + y2) dz, где L кривая

L

x2 + y2 + z2 = 2ax, x2 + y2 = 2bx, z > 0, 0 < b < a, ориентированная положительно относительно вектора (0, 0, 1).

√

Ответы. (1) −a3; (2) (a) π 3R2, (b) 2π; (3) 2πa2; (4) 2πab2.

26.6.Пункт с примером применения формулы Гаусса Остро-

градского.

26.7.Задачи. 1. С помощью формулы Гаусса Остроградско-

го вычислить интегралы:

Z Z

(1) z dxdy + (5x + y) dydz, где S:

S

(a) внешняя сторона полной поверхности конуса x2 + y2 6 z2,

(c) внешняя сторона границы области 1 < x2 + y2 + z2 < 4;

Z Z

(2) x3 dydz + y3 dzdx + z3 dxdy, где S:

S

(a) внешняя сторона поверхности тетраэдра x + y + z 6 a, x > 0, y > 0, z > 0;

16

(b) внутренняя сторона сферы x2 + y2 + z2 = R2.

Ответы. 1. (1) (a) 128π, (b) −48π, (c) 56π; (2) (a) 3a5/20, (b) 12πR5/5.

2. Доказать объем V тела, ограниченного гладкой поверхностью S, равен любому из следующих выражений:

S S S

3. Используя формулу из предыдущей задачи, найти объем тела, ограниченного поверхностью

x = (b + a cos u) cos v, y = (b + a cos u) sin v, z = a sin u, b > a > 0.

4.Доказать, что если S замкнутая гладкая поверхность, n

еевнешняя нормаль, l некоторый постоянный вектор, то

Z Z

cos(d, ) dS = 0. l n

S

5. Пусть G R3 ограниченная область с гладкой границей S, n внешняя нормаль к S, r = (x − ξ)i + (y − η)j + (z − ζ)k, где (ξ, η, ζ) фиксированная точка в R3.

6. Доказать, что если G R3 ограниченная область с гладкой границей S, n внешняя нормаль к S, u(x, y, z), v(x, y, z) дважды

17

7. Доказать, что если u(x, y, z) гармоническая функция в ограниченной замкнутой области G с гладкой границей S, n внешняя нормаль к S, r = (x−ξ)i +(y−η)j +(z −ζ)k, где (ξ, η, ζ) внутренняя точка области G, то

8. Доказать, что если u(x, y, z) функция, гармоническая внутри сферы S радиусом R с центром в точке (x0, y0, z0), то

S

26.8. Мы выше определили операцию дифференцирования форм, которая k-форму переводит в k + 1-форму (порядок формы повышается на единицу. Нетрудно посчитать, что d(dω) = 0 для любой формы ω, т. е. формы, представляющие собой дифференциалы каких-то формы, выделяются среди других форм.

Форму ω называют замкнутой, если ее дифференциал равен нулю, и точной, если она является дифференциалом некоторой формы. Равенство нулю результата повторного дифференцирования говорит о том, что всякая точная форма замкнута. Оказывается (и это составляет результат выдающейся теоремы Пуанкаре), что замкнутая в открытой связной области форма точна, т. е. является дифференциалом некоторой формы.

Рассмотрим вопросы связи замкнутых и точных форм только для простейшего случая форм первого порядка, причем преимущественно в терминологии связанных с формами полей (скалярных или векторных).

Форма ωF1 = P dx + Q dy + R dz точна в области D R3, если в этой области существует такая функция U, что ωF1 = dU, т. е.

Функцию U называют потенциалом формы ω или поля F , а о поле F говорят, что оно потенциально. Необходимым и достаточным условием потенциальности поля F в связной области пространства является обращение в нуль ротора этого поля: rot F = 0.

18

Если рассматривается форма в области из R2, то необходимым и достаточным условием существования ее потенциальности является выполнение равенства

в каждой точке области.

Для точной (или замкнутой) формы ω в связной области интеграл от этой формы по любому замкнутому контуру равен нулю. Это приводит к такому результату. Пусть A, B произвольные точки данной области. Тогда интегралы по любым кривым с началом в точке A и концом в точке B равны между собой. В таком случае

говорят, что интеграл не зависит от пути интегрирования и для его

Z

AB

Если о данном векторном поле ставится вопрос, потенциально ли оно, и если да, то найти его потенциал, во-первых, надо в связной области проверить, будут ли выполнены условия (26.11) или (26.12), гарантирующие его потенциальность, а затем найти потенциал, используя независимость интеграла от пути интегрирования. Посту-

пают так: фиксируют точку A в данной области, рассматривают

0 Z

A0 A

функцию от A. В качестве путей интегрирования обычно выбирают наиболее простые пути, например, ломаные с началом в точке A0 и концом в A, звенья которых параллельны координатным осям (в таком случае получаются легко параметризуемые отрезки, интегралы по которым представляют собой обычные одномерные интегралы).

26.9. Задачи.

1. Убедившись в том, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, вычислить криволинейный интеграл по кривой γR с началом в точке A и концом в точке B:

(1)x dx + y dy, A(−1, 0), B(−3, 4);

γ

R

(2)(x + y) dx + (x − y) dy, A(2, −1), B(1, 0).

γ

2. Найти функцию u по заданному полному дифференциалу этой функции:

(1)du = (e2y − 5y3ex) dx + (2xe2y − 15y2ex) dy;

(2)du = ex−y((1 + x + y) dx + (1 − x − y) dy);

19

(3) du = dx + dy + dz ; x + y + z

(4) du = yz dx + xz dy + xy dz . 1 + x2y2z2

Ответы. 1. (1) 12; (2) 1. 2. (1) u = xe2y − 5y3ex + C; (2) u = ex−y(x + y) + C; (3) u = ln |x + y + z| + C; (4) u = arctg(xyz) + C.

§27. Физические приложения

27.1.В этом пункте напомним физическую терминологию, сопровождающую рассмотренные выше понятия.

Пункт с сообщениями о физической терминологии поле работы, поле потока, работа силового поля, поток векторного поля через поверхность;

27.2.Задачи.

P(0, 1).

2.Найти работу поля F вдоль контура γ, если

(1) F (yz, zx, xy), γ ломаная ABCD с вершинами A(1, 1, 1), B(2, 1, 1), C(2, 3, 1), D(2, 3, 4);

(2)F = (x+z, x, −y), γ замкнутая ломаная ABCA с вершинами A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1);

(3)F = (xy, yz, zx), γ замкнутая ломаная ABCDA с вершинами A(1, 1, −1), B(−1, 1, 1), C(−1, −1, −1), D(1, −1, 1);

(4)F = (z, x, y), γ окружность x2 + y2 + z2 = R2, x + y + z = R,

ориентированная против часовой стрелки со стороны оси Oz.

4. Найти циркуляцию поля F вдоль контура γ, ориентированного по часовой стрелке при взгляде на него из начала координат, если

(1)F = z2i + x2j + y2k, γ = {x2 + y2 + z2 = 1, x + y + z = 1};

(2)F = (y+z)i+(z+x)j +(x+y)k, γ = {4(x2 +y2) = z2, x+y+z =

1};

(3)F = x3i + y3j + z3k, γ = {z = x2 + y2, z + y = 2};

(4)F = yi − xj + zk, γ = {x2 + y2 + z2 = 4, x2 + y2 = z2, z > 0}.

20