Материал: Лакин Г.Ф. Биометрия учеб. пособие

щается в уравнение прямой линии:

на одной прямой. Эта особенность отличает уравнения степен­ ной и показательной функций.

Для определения параметров этого уравнения служит следу­

из которых следует, что предварительно нужно рассчитать 2Igy,

В данном случае обнаруживается гиперболическая зависимость между переменными Х и У. Попытаемся найти эмпирическое уравнение регрессии для этих данных, исходя из общего урав­ нения степенной функции. Предварительно рассчитаем вспомо­ гательные значения (табл. 86).

Подставляя найденные значения в формулы, определяем пара­ метры:

20,12855 X 11,85338 - 20,21996 X 10,33390

10 X 11,85338 — 10,3339 X 10,3339

29,6404

2,5338,

11,7445

10 X 20,21996 - 10,33390 X 20,12855

10X 11,85338 - 10,3339 X 10,3339

-5,8068

= — 0,4944,

11,7445

откуда

lg ух — 2,5238 — 0,4944 lg х.

Рассчитанные по этому уравнению ожидаемые величины основного обмена (ух) приведены в последнем столбце табл. 86 и нанесены на график в виде плавной (выравненной) кривой (см. рис. 27). Видно,, что эмпирический и вычисленный ряды регрессии неплохо согласуются между собой. Следовательно, уравнение регрессии выбрано правильно.

Логистическая зависимость

Ростовые процессы* многих организмов, увеличение числен­ ности популяции во времени, как и некоторые другие ряды ди­ намики, характеризуются дифференциальным уравнением обще­ го вида:

£ - к г , ах

где К — средняя скорость, а л: — время, на протяжении которого совершается процесс. Решение этого уравнения приводит к формуле экспоненциальной функции

У == a e hx,

258

где а — численность особой в начальный момент времени, когда

ного пространства и времени; оно эквивалентно геометрической прогрессии размножения в указанных условиях.

Если же численность популяции возрастает в ограниченном пространстве, например, в условиях эксперимента, когда особи размножаются в аквариуме, или в другой замкнутой среде, воз-

Рис. 27. Возрастные изменения основного обмена у обезьян:

на оси абсцисс — возраст животных (мес.), на оси ординат — основной обмен в килокалориях на 1 кг веса за 24 ч

растание численности популяции (как и рост организма, совер­ шающийся при известных ограничивающих условиях) описы­ вается уравнением логистической функции

%L= K Y (A - Y ), dx

Здесь X — время, когда достигается половина окончательной ве­ личины (Л) признака (т. е. верхней асимптоты кривой).

Графически логистическая кривая похожа на Кумуляту — график вариационного ряда нормально распределяющейся со­ вокупности, когда на оси абсцисс откладываются значения клас­ совых вариант, а на оси ординат — накопленные частоты ряда.

В более удобной форме эта закономерность выражается урав­ нением Ферхюльста:

А

начальная величина признака, с которой начато его измерение; а и b — параметры уравнения, определяющие характер логисти­ ческой кривой.

Уравнение логистической кривой выражается в следующей логарифмической форме:

lg ( y - ~ - c— \ ) = a + bx.

Обозначив левую часть этого уравнения через lgz, получим па­ раболу первого порядка lg z = a + bx. Для определения парамет­ ров этого уравнения служит следующая система нормальных уравнений:

ны а + Ьх, которые равны теоретическим значениям функции, т. е.

(теоретических) значений УжТехнику расчетов, связанных с практическим использованием

уравнения логистической функции, легче усвоить из соответст­ вующего конкретного примера. Представим, что в аквариуме, т. е. в искусственно созданной ограниченной среде обитания, со­ держатся инфузории туфельки. Для опыта было взято 5 особей. На протяжении шести суток численность инфузорий возрастала следующим образом:

Будучи нанесены па график (рис. 28), эти данные обнаруживают характер логистической кривой. Найдем уравнение этой законо­ мерности, приняв А = 390 и С= 0. Для составления системы нор­ мальных уравнений предварительно рассчитываем величины Ex, Ex2, Slgz и ExX lg 2 (табл. 87).

260'

Рис. 28. Возрастание численности популяции инфузории туфельки в замкнутом пространстве:

на оси абсцисс — время (сут.), на оси ординат — численность популяции

Т а б л и ц а 87

По итогам табл. 87 составляем систему нормальных уравнений:

ния, а также и величину Л = 390, имеем:

Ію 1'6978-0'6375*’

По этому уравнению рассчитываем ожидаемые значения ух функции. Расчет показан в следующей табл. 88.