Материал: ЛЕКЦІЯ_Модель незбуреного руху ШСЗ
Векторний добуток трьох векторів можна замінити на скалярний відповідно до правила
a b c b a c c a b .
Зробимо таку заміну в рівнянні (20), маємо
|
r 3 |
r r r r r r r c 0 . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Після перетворень запишемо |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
r r r r |
r c 0 . |
||
|
|
|
r 2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Отриманий вираз тотожний наступному:
|
d |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
r c |
0 . |
|
|
|||||
|
dt |
|
r |
|
|
|
Інтегруючи вираз (21), отримаємо інтеграл Лапласа у векторній формі
rr r c f ,
(21)
(22)
де f – стала інтегрування. Вираз (22) можна записати у виді, що розкриває векторний добуток
|
|
i |
j |
k |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi yj zk x |
y |
z |
|
f1i f2 j f3k . |
|||
|
r |
c |
c |
|
c |
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
||
Записуючи векторний добуток через визначники і прирівнюючи вирази при однакових ортах, отримаємо рівняння для вектора Лапласа в координатній формі
|
x c3 y |
c2 z f1 , |
|
||||||
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y c z |
c |
3 |
x |
f |
2 |
, |
(23) |
|
|
r |
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r z c2 x c1 y f3 .
Формулами (12), (18) і (23) записані сім перших інтегралів рівнянь незбуреного руху ШСЗ – три інтеграли площ, три інтеграли Лапласа та інтеграл енергії. Вони не можуть бути загальним розв’язком тому, що не містять явно час і не є незалежними.
Існує залежність між інтегралами площ і Лапласа, яка виражається наступним рівнянням:
f c 0 , |
(24) |
яке свідчить про ортогональність (перпендикулярність) цих двох векторів. Усі сім сталих зв’язує інше рівняння
f 2 2 hc2 , |
(25) |
де
f f 2 |
f 2 |
f 2 |
; |
c c2 |
c2 |
c2 . |
1 |
2 |
3 |
|
1 |
2 |
3 |
Дослідження незбуреного руху. Якщо векторне рівняння інтегралу площ
(10) скалярно помножити на вектор r і здійснити перетворення, отримаємо вираз
r c 0 , |
(26) |
яке виявляється рівнянням площини, що проходить через початок координат. В
координатній формі воно має такий вид:
c1x c2 y c3 z 0 . |
(27) |
Рівняння (26) або (27) показує, що незбурений рух супутника відбувається у незмінній площині, яка визначається тільки початковими умовами задачі і, як наслідок, орбіта ШСЗ є плоскою кривою. Звідси, незбурений рух відбувається у площині, яка перпендикулярна (ортогональна) до вектора площ с. З математики відомо, що положення площини у просторі визначається перпендикулярним
(ортогональним) до неї вектором. Таким чином, вектор площ с визначає орієнтацію площини орбіти супутника у просторі.
Тепер на вектор r помножимо скалярно вектор Лапласа (22), зробимо
перетворення і отримаємо таке рівняння:
r c2 f r , |
|
|
(28) |
||
а у координатній формі воно має такий вид: |
|
|
|
|
|
r c2 f x f |
2 |
y f |
3 |
z . |
(28 ) |
1 |
|
|
|
||
Рівняння (28) або (28 ) описує поверхню, на якій знаходиться супутник під час руху. Ця поверхня є поверхнею другого порядку, утвореною обертанням навколо осі, яка задана вектором f, один з фокусів якої співпадає з початком координат. Це може бути еліпсоїд, параболоїд або гіперболоїд обертання.
Розв’язок системи складеної з рівнянь (27) і (28 )
c1x c2 y c3 z 0 |
|
r c2 |
(29) |
f1x f2 y f3 z 0 |
|
геометрично є січення поверхні обертання площиною. В результаті січення виходить плоска крива другого порядку.
Згідно з першим законом Кеплера, незбурена орбіта супутника є плоскою кривою другого порядку, в одному з фокусів якої знаходиться центральне тіло
(для штучних супутників Землі центральним тілом є Земля). В залежності від ексцентриситету орбіта супутника може приймати форму однієї з наступних
плоских кривих другого порядку: |
|
||
- кола, якщо ексцентриситет |
е = 0; |
||
- еліпса, |
- « - |
0 |
< е < 1; |
- параболи |
- « - |
|
е = 1; |
- гіперболи |
- « - |
|
е > 1. |
Найчастіше орбіта ШСЗ є еліпсом. У цьому випадку форма, розміри,
орієнтація орбіти супутника визначається 6-ма параметрами (елементами орбіти), а саме :
a - велика піввісь орбіти, e - ексцентриситет орбіти,
Ω - довгота висхідного вузла орбіти, i - кут нахилу орбіти,
ω - аргумент перицентру,
- момент проходження через перицентр.
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
v |
|
|
|
П |
|
|
|
|
x |
J2000.0 |
|
|
|
|
|
Рис. 1. Елементи орбіти.
Розміри і форма орбіти задаються великою піввіссю а та ексцентриситетом
е орбіти. Орієнтація площини орбіти в просторі визначається довготою висхідного вузла орбіти Ω і кутом нахилу i.
Орбіта супутника перетинає небесний екватор у двох точках. Ці точки називаються вузлами:
-висхідний, в якому супутник перетинає екватор рухаючись з південної півкулі в північну;
-низхідний, в якому ШСЗ перетинає екватор рухаючись з північної півкулі в південну.
Довгота висхідного вузла орбіти вимірюється від точки весняного рівнодення по екватору від 0 до 360 , а кут нахилу і від площини екватора зі
сходу на захід через точку півночі від 0 до 180 . |
|
|
Аргумент перицентру (для ШСЗ - перигею) |
ω орієнтує велику вісь орбіти |
|
(лінію апсид, що з’єднує точки а п о г е ю |
і |
п е р и г е ю) в її площині, і |
вимірюється від точки висхідного вузла по |
орбіті від 0 до 360 . Апогей є |
|
найвіддаленішою точкою орбіти від Землі, а перигей – найближчою.
Положення супутника на орбіті визначається кутовим параметром v -
істинною аномалією – кутом між напрямом на перигей і на положення супутника
(див. рис. 1).
Пряма, що з’єднує фокуси, тобто лінія апсид, співпадає з напрямком вектора Лапласа, а вектор площ перпендикулярний до площини орбіти (рис. 2).
c
F2 |
F1 |
A |
П |
|
f |
|
r |
m |
|
Рис. 2. Орбіта ШСЗ із взаємним розміщенням векторів r, c і f.