МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральноегосударственноеавтономноеобразовательноеучреждение высшегообразования“Нижегородскийгосударственныйуниверситет им. Н.И. Лобачевского”
Е.Л. Панкратов Е.А. Булаева
РЯДЫ
Учебно-методическое пособие
по курсу «Математический анализ»
Рекомендовано методической комиссией Института экономики и предпринимательства ННГУ для студентов, обучающихся по направлению подготовки 38.03.02 «Менеджмент»
Нижний Новгород
2015
УДК 517.958 (075)
ББК В311
П-16
П-16 РЯДЫ: Автор: Панкратов Е.Л., Булаева Е.А. учебно-методическое пособие. – Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2015. - 24 с.
Рецензент: д.ф.-м.н., профессор М.И. Сумин.
Учебно-методическое пособие «Ряды» подготовлено для ознакомления студентов, обучающихся по специальности 38.03.02 «Менеджмент», с соответствующим разделом курса «Математический анализ». Оно содержит основные понятия теории рядов, методы их исследования и некоторые приложения. Для закрепления теоретических знаний по обыкновенным рядам в данном пособии приведены контрольные задания.
Ответственная за выпуск:
председатель методической комиссии Института экономики и предпринима-
тельства, Е.Н. Летягина.
УДК 517.958 (075)
ББК В311
© Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского, 2015
|
|
Содержание |
Введение |
3 |
|
1. |
Числовые ряды |
3 |
2. |
Функциональные ряды |
8 |
3. |
Ряд Тейлора |
12 |
4. |
Ряд Фурье |
16 |
5. |
Применение рядов в экономике |
18 |
|
Контрольные задания |
21 |
|
Литература |
26 |
1
Введение
В настоящее время для анализа экономических процессов используются различные ряды. В данном пособии приведен обзор методов анализа числовых и функциональных рядов, а также рассматриваются некоторые приложения рядов. Пособие ориентировано на развитие у студентов компетенций ОК-15 и ОК-16 образовательного стандарта специальности 38.03.02 «Менеджмент». В результате изучения раздела математики “Ряды” курса “Математический анализ” студенты должны знать основные понятия теории рядов; методы исследования сходимости рядов, а также основные приложения теории рядов.
2
1. Числовые ряды
Определение 1
Рассмотрим произвольную числовую последовательность a1, a2, …, an, … и формально образуем из её элементов бесконечную сумму вида
∞
a1 + a2 +... + an +... = ∑an .
n=1
Такая формально составленная сумма называется числовым рядом. Часто используется более короткое название “ряд”.
Определение 2
Отдельные слагаемые an рассмотренного ряда называются его членами. Определение 3
Сумма первых N слагаемых называется N-ой частичной суммой ряда и обозначается SN, т.е.
N
SN = a1 + a2 +... + ak +...aN = ∑an .
n=1
Определение 4 Рассмотренный ряд называется сходящимся, если сходится последовательность
{SN} частичных сумм этого ряда.
Из определения сходимости произвольного ряда следуют следующие его свойства:
1)отбрасывание (добавление к ряду) конечного числа членов ряда не влияет ни на сходимость, ни на расходимость данного ряда;
∞
2) если c – отличная от нуля постоянная и bn=c an, то ряд ∑bn сходится тогда,
n=1
∞
когда сходится ряд ∑an .
n=1
Определение 5
Предел S данной последовательности {SN} называется суммой ряда.
∞
Таким образом, для сходящегося ряда ∑an , имеющего сумму S, можно фор-
n=1
мально записать
∞
S = ∑an .
n=1
3