Материал: Лекция 4

ребер dx, dy и dz (рис. 3.1). По этого параллелепипеда

граням будут действовать нормальные x , y , z и каса-

тельные хy , хz , yx , yz , zx , zy напряжения.

Так как площади граней выделенного элементарного параллеле-

пипеда являются бесконечно малыми, можно считать, что напряжения на гранях параллелепипеда являются постоянными величинами.

В обозначении нормальных напряжений используется один ин-

декс, совпадающий с обозначением оси, в направлении которой дей-

ствует напряжение. Например, x действует в направлении оси Ох на грани параллелепипеда, перпендикулярной к оси Ох.

В обозначении касательных напряжений используются два ин-

декса. Первый индекс совпадает с обозначением оси, перпендикуляр-

но к которой проведена площадка, второй – с обозначением оси, в

направлении которого действует касательное напряжение. Например,

ху действует на площадке, перпендикулярной оси Ох и направлено параллельно оси Оу.

Используем принятое ранее правило знаков для напряжений. На рис. 3.1 показаны положительные напряжения, действующие на раз-

личных гранях параллелепипеда.

Главные напряжения

На гранях выделенного элементарного параллелепипеда, дей-

ствуют нормальные напряжения x , y , z и касательные –

хy , хz , yx , yz , zx , zy . Если выделять элементарный параллелепипед

2

сечениями, проведенными под разными углами, то значе-

ния напряжений на его гранях будут различными. Вращая выделенный элемент вокруг осей координат Ох, Оу, Оz,

можно найти такое положение элемента, при котором касательные напряжения на его гранях будут равны нулю,

хy хz yx yz zx zy 0 .

Площадку (грань элемента), на которой касательные напряже-

ния равны нулю, называют главной площадкой. Главные площадки взаимно перпендикулярны, следовательно, через каждую точку тела

можно провести три, взаимно перпендикулярные, главные площадки.

образованный главными площадками, на гранях которого действуют главные напряжения

Для расчетов на прочность можно использовать значения нор-

мальных x , y , z и касательных хy , хz , yx , yz , zx , zy напряже-

ний или же три главных напряжения 1 , 2 , 3 . Проводить вычисле-

ния с тремя величинами проще, поэтому в ряде случаев, при решении сложных задач, используются главные напряжения.

3

Виды напряженного состояния

Различают линейное, плоское и объемное напряженные состояния. В общем случае при деформировании тела возникает объемное напряженное состояние, при котором напряже-

ния действуют на всех шести гранях выделенного параллелепипеда

(рис. 3.1).

При плоском напряженном состоянии из тела можно выделить параллелепипед таким образом, что на двух его гранях напряжения будут равны нулю (рис. 3.3).

При линейном напряженном состоянии из тела можно выделить

параллелепипед таким образом, что только на двух его гранях будут

Напряжения в растянутом стержне

4

Линейное напряженное состояние возникает при рас-

тяжении (сжатии) стержней. Если из стержня выделить па-

раллелепипед так, чтобы ось Ох была параллельной про-

дольной оси стержня, то на его гранях будут действовать только напряжения х (рис. 3.4).

Рассмотрим тонкую пластину, находящуюся под действием сил,

приложенных на ее торцах (рис. 3.5). На лицевых поверхностях пла-

стины напряжения отсутствуют. Так как толщина пластины мала,

зуется плоское напряженное состояние. В

аналогичных условиях будет находиться, например, и вертикальная стенка двутавра при изгибе в вертикальной плоскости.

Отметим, что в задачах сопротивления материалов наиболее

часто встречается плоское напряженное состояние.

Далее будут представлены некоторые закономерности, получен-

ные на основе анализа плоского напряженного состояния.

5