Материал: Лекция 4

2

1 1

2

Рис. 3.7. Параллелепипед, образованный главными площадками, при плоском напряженном состоянии

Можно показать, что главные напряжения определяются по формулам

Чистый сдвиг

В некоторых частных случаях нормальные напряжения на гра-

нях параллелепипеда могут быть равны нулю.

Напряженное состояние, при котором по граням параллелепи-

педа действуют только касательные напряжения, называется чи-

стым сдвигом.

Чистый сдвиг возникает при кручении стержней и при дефор-

мировании заклепочных соединений.

11

На рис. 3.9а показан параллелепипед (вид с боку)

на гранях которого действуют только касательные напряжения .

Рис. 3.9. Деформация параллелепипеда при чистом сдвиге

Параллелепипед после деформации показан на рис. 3.9б штриховой линией. При условном совмещении нижних

границ граней деформированного и недеформированного параллеле-

пипеда, получается рисунок 3.9в.

Величина γ называется относительным сдвигом (углом сдвига).

τ

A

γ

O

Рис. 3.10. Диаграмма испытания материала при чистом сдвиге

12

Экспериментально полученный график зависимости между касательным напряжением τ и углом сдвига для пластичного материала показан на рис. 3.10. Очевидно, что

этот график аналогичен диаграмме растяжения материала. Начальный участок диаграммы ОА –

прямая линия. На этом участке зависимость между τ и описывается законом Гука при сдвиге:

где G – модуль сдвига, который характеризует жесткость материала при сдвиге. Величина модуля сдвига G связана с модулем упругости Е и коэффициентом Пуассона ν соотношением

Можно показать, что удельная потенциальная энергия дефор-

мации при чистом сдвиге вычисляется по формуле чистом сдвиге

U 12 .

Обобщенный закон Гука

Обобщенный закон Гука представляет собой связь между напряжениями и деформациями в случае объемного напряженного со-

стояния. Этот закон может быть получен с использованием принципа независимости действия сил, на основании закона Гука при растяже-

нии-сжатии стержня и при чистом сдвиге.

13

Как уже отмечалось, объемное напряженное состояние можно описать с использованием главных напряжений

1 , 2 , 3 .

Вэтом случае, касательных

деформация в направлении 1 , вызванная действием напряжения 2 ;

13 – поперечная деформация от действия 3 .

Как было показано, при растяжении стержня возникают про-

дольная и поперечная деформации, которые вычисляются по

формулам

E , E .

Сучетом этих уравнений, можно записать

Подставляя эти выражения в (3.18), получим

14

1 1 2 3 .

E E E

Аналогично выводятся формулы для деформаций

2 , 3 , возникающих в направлении действия напряжений 2 , 3 .

В результате получается, что

Эти соотношения называются обобщенным законом Гука, запи-

санным для главных напряжений.

у

Напряжение на гранях элементарного параллелепипеда

Соотношения обобщенного закона Гука могут быть записаны и для произвольно ориентированных площадок. В этом случае кроме линейных деформаций x , y , z следует учитывать также и угловые

15