Материал: Лекция 4
Закон парности касательных напряжений |
|
|
|
|
||
Закон парности касательных напряжений устанавли- |
|
|
|
|||
вает зависимость между величинами и ориентацией каса- |
|
|
|
|||
тельных напряжений, действующих на взаимно перпендикулярных |
||||||
площадках. |
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим элементарный парал- |
|
y |
у |
|
|
|
лелепипед (см. рис.) и запишем для него |
|
|
уx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
уравнение равновесия в виде суммы мо- |
|
|
|
xy |
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
ментов сил относительно оси Oz. Учтем, |
|
|
|
х |
|
|
что нормальные напряжения взаимно |
xy |
O |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
уравновешивают друг друга и поэтому |
z |
уx |
у |
|
|
|
не будут создавать момент относительно |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
оси Оz. Создают момент только напря- |
|
|
|
|
|
|
жения xy и yx , действующие на правой |
|
|
|
|
|
|
и верхней гранях параллелепипеда. На этих гранях возникают силы, |
||||||
равные произведению напряжения на площадь |
грани: xy (dydz) |
и |
||||
yx (dxdz) . |
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
miz xy (dydz) dx yx (dxdz) dy 0 . |
|
|
|
|
||
Очевидно, что из этого уравнения получается равенство |
|
|
||||
xy yx .
Это равенство выражает закон парности касательных напряжений, в
соответствии с которым на любых взаимно перпендикулярных площад-
ках, касательные напряжения, перпендикулярные к линии пересечения
6
площадок, равны по величине и стремятся вращать эле-
мент в противоположные стороны.
Закон парности касательных напряжений справедлив для любых видов напряженного состояния. В соответствии с этим за-
коном получается, что в общем случае xy yx , xz zx , yz zy .
Следовательно, в общем случае, напряженное состояние в точке опре-
деляют шесть величин: x , y , z (нормальные напряжения) и
хy , хz , yx (касательные напряжения).
Напряжения на наклонных площадках
Рассечем показанный на рис. 3.3 элементарный параллелепипед наклонным сечением, перпендикулярным к плоскости Оху, на две части и рассмотрим одну из частей – элементарную призму (рис. 3.6а).
|
|
y |
|
|
|
|
dAх |
|
|
y |
n |
|
|
|
|
t |
n |
|
α |
dA |
х |
α |
nt |
dy |
|
|
|||
|
x |
|
|
dA |
|
|
O |
|
xy |
||
|
|
|
х |
||
|
|
dz |
dAх |
||
z |
|
|
O уx |
dAу |
|
|
dx |
|
|||
|
|
|
|
|
у |
|
dAу |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
б |
|
|
Рис. 3.6. Отсеченная часть параллелепипеда |
|||
7
Как видно из рисунка, площади граней призмы свя-
заны зависимостями: |
|
|
|
dAx dAcos , |
dAy dAsin . |
|
(3.1) |
Напряжения на наклонной площадке |
n и |
nt найдем из усло- |
|
вий равновесия треугольной призмы. Уравнения равновесия призмы в виде суммы проекций действующих на гранях призмы силы на направление нормали n и касательной t (рис. 3.6б) имеют вид
Fin n dA ( xy dAx )sin ( x dAx ) cos ( yx dAy ) cos ( y dAy )sin 0,
Fit nt dA ( xy dAx ) cos ( x dAx )sin ( yx dAy )sin ( y dAy ) cos 0.
Подставляя в эти уравнения выражение для площадей граней
призмы dAx , dAy |
(3.1), вынося общий множитель dA за скобки и со- |
|||||
кращая на dA , |
с учетом |
того, что xy yx , 2sin cos sin 2 , |
||||
cos2 sin2 cos2 , получим |
|
|
||||
n x cos2 y sin2 xy sin2 , |
(3.2) |
|||||
|
nt |
y x |
sin 2 xy cos 2 . |
(3.3) |
||
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Формулы (3.2), (3.3) выражают закон изменения напряжений,
возникающих на наклонных площадках, от угла наклона площадки .
Подставляя в формулу (3.2) вместо угол 90 , находим
n ( 90 ) x cos2 ( 90 ) y sin2 ( 90 ) xy sin( 180 ) ,
или, после преобразований
8
n ( 90 ) x sin2 y cos2 xy sin2 . |
(3.4) |
Складывая равенства (3.2) и (3.4), получим |
|
n ( ) n ( 90 ) x y . |
(3.5) |
Таким образом, получается, что сумма нормальных напряжений,
действующих на любых двух взаимно перпендикулярных площадках,
величина постоянная.
Главные напряжения при плоском напряженном состоянии
Как видно из формулы (3.2), величина нормального напряжения
n зависит от угла наклона площадки . При некотором значении
0 величина |
нормального напряжения |
будет |
наибольшей: |
max n ( 0 ) . Так |
как в соответствии с (3.5) |
сумма |
нормальных |
напряжений, действующих на любых двух взаимно перпендикулярных площадках, величина постоянная, то можно заключить, что на пло-
щадке, проходящей под углом 0 90 нормальное напряжение будет минимальным min n ( 0 90 ) . Следовательно, максимальные
max и минимальные min нормальные напряжения возникают на вза-
имно перпендикулярных площадках.
При плоском напряженном состоянии главными напряжениями
называются экстремальные нормальные напряжения. Используются обозначения: 1 max , 2 min , 3 0 .
Площадки, на которых действуют 1 max и 2 min назы-
ваются главными площадками. На этих площадках, как и в общем слу-
чае напряженного состояния, касательные напряжения равны нулю.
9
Для определения угла наклона главных площадок 0 и
величин главных напряжений используем условие экстремума n ( ) :
d n ( ) |
0 . |
(3.6) |
|
d |
|||
|
|
С учетом формулы (3.2), условие (3.6) записывается в следую-
щем виде:
|
d n ( ) |
x 2sin cos |
y 2sin cos 2 xy cos 2 0 . |
|
||||
|
d |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая, что 2sin cos sin |
2 , получим |
|
||||||
|
|
|
( y x ) |
sin 2 xy cos 2 0 . |
(3.7) |
|||
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Полагая в последнем выражении 0 , находим |
|
|||||||
|
|
|
tg2 0 |
2 xy |
. |
(3.8) |
||
|
|
|
y |
x |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Используя это уравнение, можно определять угол наклона 0
главной площадки относительно граней исходного параллелепипеда
(рис. 3.3). Так как главные площадки взаимно перпендикулярны,
вторая главная площадка будет наклонена под углом 0 90 .
Элемент, грани которого являются главными площадками, в
случае плоского напряженного состояния, показан на рис. 3.7.
Сравнивая выражения (3.3) и (3.7), можно увидеть, что если вы-
полняется условие экстремума n (3.6), то nt 0 . На главных пло-
щадках касательные напряжения равны нулю.
10