Материал: Лекция 9 по СМ для ФЭМТО 2021
Дисциплина «Сопротивление материалов»
Лекция 9: Сложное сопротивление.
Лектор Серазутдинов Мурат Нуриевич.
СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
1.Основные понятия
Впредыдущих лекциях были рассмотрены виды нагруже-
ния, при которых в сечениях стержня возникали следующие внутренние силовые факторы: нормальная сила N – при растя-
жении и сжатии, крутящий момент T – при кручении, попереч-
ная сила Qy и изгибающий момент M x – при изгибе.
Растяжение–сжатие, кручение, плоский изгиб, называются
простыми видами нагружения.
Сложным сопротивлением называются такие виды нагру-
жения стержня, при которых в его поперечных сечениях одно-
временно возникает несколько внутренних силовых факторов.
Если в стержне возникают только упругие деформации, то при анализе сложного сопротивления можно использовать
1
принцип независимости действия сил. Следователь-
но, сложное сопротивление можно рассматривать как сложение элементарных видов деформаций и исполь-
зовать предположения и результаты предыдущих глав.
Часто в расчетной практике возникают следующие виды сложного сопротивления: косой изгиб; внецентренное растяже-
ние-сжатие; изгиб с кручением.
2. Косой изгиб
Косым изгибом называется вид нагружения стержня, при котором плоскость действия изгибающего момента M не про-
ходит через главную ось поперечного сечения.
На рис. 1а показан изгибающий момент M , действующий в плоскости, проходящей под углом к оси Оу. Разложим этот момент M на составляющие M x , M y , действующие в плоско-
стях, проходящих через главные оси поперечного сечения Оу и Ох (рис. 1 б):
M x M cos , M y M sin .
При действии этих моментов, в плоскостях, проходящих через главные оси поперечного сечения балки Оу и Ох,
возникает плоский изгиб.
2
у |
у |
|
M |
|
|
|
|
|
О х |
О |
х |
|
|
M у |
а |
M х |
б |
|
Рис. 1. Моменты в сечении балки при косом изгибе
Ранее была установлено, что при плоском изгибе, в попе-
речных сечениях стержня возникает изгибающий момент M x и
нормальные напряжения
|
M x |
y . |
|
||
|
I x |
|
С учетом этой формулы получается, что при действии мо-
ментов M x , M y в поперечных сечениях стержня возникают
напряжения
|
x |
|
M x |
y и |
y |
|
M y |
x . |
|
I x |
|
I y |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
В соответствии с принципом независимости действия сил,
косой изгиб можно рассматривать как результат сложения двух плоских изгибов, происходящих во взаимно перпендикулярных плоскостях. Следовательно, нормальные напряжения в любой
3
точке |
поперечного |
сечения |
равны сумме |
напряжений, возникающих при действии моментов
M x , M y .
Учитывая, что
|
x |
|
у |
, а |
x |
|
M x |
y , |
y |
|
M y |
x , |
|||
|
|
|
I x |
|
I y |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
x |
y |
|
M y |
x . |
|
|
|
(1) |
||
|
|
|
I x |
I y |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Введем новые переменные M и . Используя уравнения
M x M cos , M y M sin ,
выражающие изгибающие моменты M x и |
|
M y |
через эти пере- |
||||||||||
менные, формулу (1) можно записать в виде: |
|
||||||||||||
|
|
cos |
|
sin |
|
|
|
||||||
|
M |
|
|
|
y |
|
|
|
x . |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
I |
x |
|
I |
y |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Можно показать, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg |
М у |
, |
|
||||
M M 2 |
M 2 |
, |
|
(2) |
|||||||||
|
|
||||||||||||
|
х |
|
у |
|
|
|
|
|
|
М х |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Нейтральной линией (н.л.) называется геометрическое ме-
сто точек, в которых нормальные напряжения равны нулю.
Нейтральная линия делит сечение на растянутую и сжатую обла-
сти.
4
Уравнение нейтральной линии 0 , с учетом формулы (1), имеет вид
M |
x |
y |
M y |
x 0 . |
(3) |
|
|
|
|||
I x |
I y |
|
|
||
Угол наклона α этой линии к оси Ох (рис. 2) определяется из уравнения
xy tg .
у
А
н.л.
х
О |
|
В
Рис. 2. Эпюра напряжения в сечении при косом изгибе
Учитывая, что в соответствии с (2), tg М у , из равенства
М х
(3) получаем
tg I x tg . I y
5