Материал: Лекция по ТОЭ ПП с 2РЭ от 08.04.2020

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

ЛЕКЦИЯ от 08.04.2020

РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЦЕПЯХ С ДВУМЯ РЕАКТИВНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ

(продолжение лекции от 25.03.2020)

1.4. Переходные процессы в цепи с последовательно соединенными R, L и С (контуры II порядка)

Интегро-дифференциальное уравнение цепи, 1.13, выглядит следующим образом:

	di	1	t		0 ,
u Ri L				idt uC
	dt	C
			0

представленной на рис

(1.22)

Продифференцируем уравнение (1.22)

(1.23)

Решение ищем в виде:

i i/ i// .

(1.24)

Запишем уравнение (1.23) для

свободной составляющей:

R di

Введем обозначения 2

- коэффициент затухания,

, 0

- частота свободных колебаний.

Запишем характеристическое уравнение:

2 2 02 0 .

Корни характеристического уравнения равны:

1,2 2 02 .

Свободную составляющую ищем в виде

i// A1e 1t A2e 2t .

Тогда формула для тока приводится к следующему виду

i i

(1.23)

A1e

A2e

Постоянные интегрирования А1

и А2

находятся из условий неизменности тока

в катушке и напряжения на конденсаторе в момент коммутации:

i 0 i 0 ,

uC 0 uC 0 .

Для определения А1

и А2 надо знать величину тока и его производных до

порядка

n 1

включительно

при

t=0.

В данном

случае

n 2 , поэтому

достаточно

знать начальное

значение

тока и его

первой

производной.

Начальная величина тока

i 0

известна.

Начальную величину производной тока находим из исходного уравнения

di
u 0 Ri 0 L

dt

t 0

u	C

(1.24)

Отсюда находим

di

dt t 0

u 0

Ri 0 u	C	0
	C
L

Из (1.23) имеем

2 A2e

1 A1e

Из (1.23) и (1.25) при t=0 имеем

i 0 i

0 A A

u 0 Ri 0 u

A A

1 1

t 0

/	di/
где i 0 ,			есть значения установившегося тока и его производной в


		dt t 0

(1.25)

(1.26)

начальный момент времени, известные из найденного ранее частного решения исходного дифференциального уравнения (1.22).

Из системы уравнений (1.26) находим А1 и А2.

1.5. Разряд конденсатора на цепь R и L

Пусть t=0 есть момент коммутации.

До коммутации напряжение на конденсаторе равно uC 0 U

, ток

через индуктивность равен

i 0 0

Согласно законам коммутации запишем начальные условия

uC 0

U ,

i 0 0

Запишем уравнение цепи

после

коммутации,

учитывая,

что

приложенное

напряжение отсутствует (

u 0

i dt u 0 0

Ri L

Решение ищем в виде i i

A1e

A2e

Учтем, что установившийся ток равен

нулю

из-за

наличия

индуктивности

di		/
		/

	dt
	dt

t 0

Тогда переходный ток равен:

		i i A1e 1t A2e 2 t .				(1.27)
При	t 0	из (1.26) имеем:
При		из (1.26) имеем:
		0 A1 A2

			U
				1 A1	2 A2
			L	1 A1	2 A2
			L			.
						.

Отсюда находим постоянные:

A A					U
A A			L
1	2		L
1	2
					1		2
Подставим А1 и А2 в формулу (1.27) и получим:
i	U			t
i	L			e	1	e		2
					1			2
		2
	1	2

Найдем напряжение на индуктивности: uL

Напряжение на конденсаторе равно:

t	.
t

			U	e 1t		e 2t
				e 1t		e 2t
		1	2	1	2
		1	2			.
						.

так как

	2
1

		2
		0
		0

uC 1 t i dt C 0

		U
LC			2
		1	2
	1	, то uC
	LC

			1					U							1t					2t		t
U			1					U						e						e			U
U						L																	U
		C				L					2					1					2
								1			2					1					2	0
			e 1t e 2t										U					2						U
	2						1											2			1
												LC													,
				1			2									1			2			1	2		,
				1			2									1			2			1	2
			U					2e	t	1e					t		.
								2e	1	1e					2		.
									1						2
			1		2
			1		2

Характер процесса разряда существенно зависит от корней характеристического уравнения, т.е. от параметров цепи.

А). Апериодический разряд.

Корни характеристического уравнения вещественные и отличные по

величине. Для этого должно выполняться

условие	0	или	R	1	отсюда
			2L	LC

	R	L
	R	C
		C

. При этом условии -

	1

	2

Для определенности	допустим, что
1 2 , поэтому e 1t e 2t	0	при 0 t .
Это показано на рис. 1.15.
Можно видеть, что ток	i	не меняет своего направления (i<0, U>0), т.е.

конденсатор все время разряжается. Такой односторонний разряд конденсатора

называется апериодическим. На рис. 1.16 показаны графики					C			L	этого
				i,	u	,	u
разряда.
В этом случае имеем два
характерных	интервала						разряда,
разделенных	точкой					t	M	,	при
						t
которой ток достигает максимума.
При 0 t tM	uC	и	i	имеют разные
знаки (uCi 0),		т.е. конденсатор
отдает энергию резистору (R) и
катушке Ri2	0,	u	i 0 .
		L

При энергия от

tM t имеем uCi 0, uLi конденсатора и катушки.

Ri2 0, т.е. в резистор поступает

Б) Критический режим (предельный случай апериодического разряда).

В этом режиме корни характеристического уравнения вещественны и

равны друг другу. Соблюдается условие

, т.е.

	R 2	L
	R 2	C
		C

. В этом случае

		2
1		2

. Формулы для тока и напряжения носят неопределенный характер.

Имеется неопределенность типа

	0	.
	0	.
	0

Раскроем неопределенность по правилу

Лапиталя, полагая		1	переменной, стремящейся к

тока записывается следующим образом:

	2	.
	2

Тогда выражение для

i lim

lim

Найдем напряжение на индуктивности:

uL	L	di	U	t 1 e	t	.

		dt

Найдем напряжение на конденсаторе:

	U	te

	L

	1	t
uC		idt U U
	C
		0

t 1 e	t

В этом режиме характер процесса разряда такой же,

0	- предельный (пограничный), т.к. при	R 2	L
			C

что и при 0 . Случай

разряд становится

колебательным.

Критический режим предполагает быстрое спадание амплитуды без колебаний и наиболее желателен во всех индикаторных, измерительных и контрольных приборах.

Источник: https://studfile.net/preview/15933816/

Смотрите также:

Ekzamenatsiyni_pitannya_z_Programuvannya
Глобальные проблемы человечества: разрушение озонового слоя Земли
Молошная Електромагнитная совместимост
Теория структурации Э. Гидденса