Материал: Лекция_1
Лекция 1. Базовые представления о векторах
1. Вектор можно представить как отрезок, для которого указано где его начало, а где конец. Наглядно – это стрелка. Однако на практике такое определение чаще всего неудобно. Поэтому следует несколько конкретизировать понятие вектора. Для этого представим себе пространство как совокупность точек. Для определения положения точки в этом пространстве необходимо ввести систему координат. Сначала для простоты рассмотрим двумерное пространство. Положение произвольной точки в
декартовой системе координат определяется двумя координатами – проекциями точки на ортогональные числовые оси Ox (ось абсцисс) и Oy
(ось ординат) этой системы с началом отсчета в точке O (рис.1). Например,
координаты точки P равны x |
P1 |
, y |
P1 |
. Каждой паре точек можно сопоставить |
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
вектор-стрелку. На рис.1 представлены два вектора |
PP |
и Q Q |
. Координаты |
||||||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
вектора определяются разностью соответственных координат точек его
концов. Например, координаты вектора Q1Q2 |
равны: |
|
Q1Q2 xQ 2 xQ1, yQ 2 |
yQ1 . |
(1) |
Таким образом, вектор представляет собой набор чисел, являющихся его координатами в заданной системе координат. Если перейти в другую систему координат, в которой положение eё начала – 
точки O – несколько смещено, то 
координаты вектора изменятся. Таким
образом, обозначение вектора в духе (1)
предполагает то, что мы знаем о какой
системе координат идет речь. Ориентация
осей системы координат определяется так
называемыми базисными векторами-ортами
Рис.1
– масштабными векторами, длины которых принимаются за единицу. На рис. 1 это векторы i и j. Тройка O,i, j определяет заданную систему координат.
Произвольный вектор (1) можно представить в виде разложения по базисным векторам:
(2)
2. Векторы, сопоставляемые физическим величинам, могут быть
закрепленными (связанными), скользящими или свободными. Свободным вектором называют вектор с фиксированным направлением и величиной, но который можно перемещать параллельно самому себе. Такие векторы описывают векторные физические величины, не меняющиеся при переходе из одной точки пространства в другую. Свободными являются, например,
базисные векторы, векторы угловых перемещений, скоростей, ускорений,
моментов силы, импульса. Свободные векторы можно складывать и умножать, даже если они не имеют общего начала. Для этого просто надо, не меняя длин и направлений, совместить начала векторов. Закрепленным вектором называется вектор, начало которого находится в фиксированной точке. Примером связанного вектора является сила, приложенная к
материальной точке, линейные перемещение, |
||
скорость, ускорение материальной точки. Для |
||
скользящего вектора нельзя указать точку |
||
приложения, а можно говорить только о линии |
||
действия. Примером такого вектора является |
||
сила, приложенная к твердому телу. При |
||
осуществлении |
алгебраических |
операций |
необходимо |
помнить, что связанные и |
|
скользящие векторы можно перемещать только |
Рис.2 |
|
вдоль линий действия. Связанные и скользящие векторы могут быть по правилам линейной алгебры выражены через свободные. Именно поэтому
правила работы с векторными величинами формулируются для свободных векторов.
3. Рис.2 иллюстрирует правило определения суммы двух векторов a и b . Для этого начало вектора b совмещают с концом вектора a . Достраивая до треугольника, получают вектор c a b. При этом, как видно из рис.2,
координаты получившегося вектора равны сумме соответствующих координат векторов a и b :
c cxi cy j ax bx i ay by j. |
(3) |
Таким образом, при сложении векторов необходимо просто сложить их соответствующие координаты. Вычитание векторов определяется аналогично: разность векторов a и b эквивалентна сумме векторов a и b :
c a b ax bx i ay by j. |
(3.1) |
Как видно из рис. 2, величина (модуль) вектора определяется согласно теореме Пифагора:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q1Q2 |
|
|
|
xQ 2 xQ1 |
2 yQ 2 |
yQ1 |
2 , |
|||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
a |
|
a |
|
|
a2 |
a2 . |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
|
|
|
|
Величина вектора является, разумеется, также и расстоянием между двумя точками: его началом и его концом.
Из рис.2 также следует, что проекции вектора на оси координат определяются через его модуль и углы наклона к соответствующим осям следующим образом:
ax a cos , ay a sin . (5)
4. В трехмерном пространстве положение произвольной точки в декартовой системе координат определяется тремя координатами – проекциями точки P на ортогональные оси Ox (ось абсцисс), Oy (ось ординат) и Oz (ось аппликат) этой системы с началом отсчета в точке O
(рис.3). Вектор r OP , проведенный из начала координат O в точку
P xP , yP , zP , называется радиус-вектором точки P . Коль скоро координаты
точки O равны нулю, то координатами радиус-вектора являются координаты
его конца, т.е. точки P . В дальнейшем для краткости записи базисные
векторы будем обозначать как ex ,ey ,ez . Радиус-вектор может быть разложен по этим трем векторам:
r xPex yPey zPez . |
(6) |
Рис.3 |
|
Рис.4 |
Рис.5 |
|
Рассмотрим теперь два произвольных вектора |
a axex ayey azez и |
|||
b bxex byey bzez . |
Скалярным произведением этих |
векторов называется |
||
следующая конструкция: |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
ab axbx ayby azbz . |
|
(7) |
|
|
|
|
|
При этом говорят, что определена метрика пространства. В данном случае метрика называется евклидовой. Метрика пространства задаёт правило
определения расстояния между двумя точками. В самом деле, если вектор a |
|
умножить скалярно сам на себя, то получим формулу (4). |
|
5. Помимо скалярного произведения векторов, существует их |
|
векторное произведение, определяемое согласно следующему правилу: |
|
a b c aybz azby ex azbx axbz ey axby aybx ez . |
(8) |
Следует обратить внимание на то, что скалярное произведение – это число
(скаляр), а векторное произведение суть вектор с координатами,
определяемыми согласно (8). Направление и величину этого вектора наглядно можно представить следующим образом.
Направление вектора с перпендикулярно как вектору a , так и вектору b , то
есть вектор c перпендикулярен плоскости, в которой лежат два вектора a и
b , произведение которых мы и находим. Если, например, a и b лежат в плоскости Oxy , то вектор a b c параллелен оси Oz . Чтобы определить,
направлен ли он по оси Oz или против неё, надо воспользоваться правилом правого винта, которое для наглядности сформулируем
так. Шариковую или любую другую ручку с правым |
|
|||||||||
винтом располагаем вдоль вектора c , а затем вращаем |
|
|||||||||
колпачок от первого вектора в произведении (в нашем |
|
|||||||||
случае вектора a ) ко второму (вектору b ). Направление |
|
|||||||||
движения колпачка покажет направление вектора c (рис. |
Рис.6 |
|||||||||
6). Величина вектора c может вычислена согласно |
||||||||||
|
||||||||||
следующей формуле |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
a |
|
b |
sin |
, |
(9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вкоторой – угол между векторами a и b .
6.Положение точки можно задать также с помощью цилиндрической и сферической систем координат. Цилиндрическими координатами точки P
называют расстояние (полярный радиус) от начала координат до её проекции P на плоскость Oxy (рис. 4), угол (полярный угол) между осью
Ox и направлением , и координату z . Базисные векторы такой системы координат постоянны по модулю, но, в отличие от орт декартовой системы,
при движении точки P меняют свою ориентацию. Про такой базис говорят,
что он локальный (локальный репер), т.е. определен в каждой точке свой.
Радиус-вектор в такой системе координат представим в виде: |
|
r e zez . |
(10) |