Материал: Лекция_1

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Вектор e
Вектор e	направлен вдоль направления OP в сторону его увеличения, а
вектор e	– по касательной к окружности радиуса	в сторону увеличения
угла	(против часовой стрелки). Связь	между декартовыми и

цилиндрическими координатами легко получить, пользуясь рис. 4:

		x cos , y sin , z z.		(11)
Причем полярный	угол	изменяется в полуинтервале	0,2 ,	полярный

радиус в полуинтервале		0, , а координата z в интервале , . Если

зафиксировать значение аппликаты, положив, например,			z 0 , то формулы
(11) представляют	так называемые полярные координаты на			плоскости

z 0 .

Сферические координаты , , определяются следующим образом

(рис.5): расстояние от начала координат до точки P , угол между осью

Ox и направлением из начала координат до проекции P , и угол	между
осью z и направлением . Радиус-вектор имеем вид:
r e .	(12)
Из рис. 5 следует, что
x sin cos , y sin sin , z cos .	(13)

Проекцией вектора на некоторую ось, направление которой задается единичным вектором e , называется скалярное произведение этого вектора на вектор e . Например, проекция радиус-вектора на ось аппликат равна

rez xex	yey zez ez				xexez yeyez zezez z .	(14)
Здесь учтено, что exez		ex	ez	cosexez	1 1 cos 2 0, eyez 0	и ezez 1.

Легко видеть, что скалярное произведение определяет угол между произвольными векторами a и b . В самом деле, через два вектора всегда

можно провести плоскость. Выберем в этой плоскости полярные координатыa, 1 для первого вектора и b, 2 для второго, записав указанные векторы в виде (см. рис.2)

a axex

ayey

a cos 1ex

a sin 1ey ,

b bxex

byey

b cos 2ex

bsin 2ey .

Тогда согласно (7) их скалярное произведение принимает вид:

ab ab cos 1 cos 2 absin 1 sin 2 ab cos 1 2 ab cos ab .

Следовательно, угол между двумя векторами определяется условием:

cos ab

(15)

7. Как отмечалось выше, для задания вектора в трёхмерном

пространстве необходимо задать три его координаты:

r xex yey zez x e .

(16)

Здесь мы для краткости ввели обозначения

x x1, y x2 , z x3 , ex e1, ey e2 , ez e3.

Если мы теперь переместим начало системы координат из точки O в точку

O на вектор
R X ,Y , Z	(17)

и повернем саму систему координат на некоторый угол, то координаты вектора изменятся. При этом, конечно, изменятся и базисные векторы.

Радиус-вектор в новой системе координат связан с радиус-вектором в старой системе координат следующей формулой

	3	3
r r R	или x e x e
	1	1

3
X e .	(18)

Умножим последовательно равенство (18) скалярно на орты исходной системы координат e :

3	3
x e e x e e
1	1

3
X e e .	(19)

Учитывая, что скалярное произведение базисных векторов представляют

символ Кронекера:

	1,	при
e e		при ,	(20)
	0,	при ,
выражение (19) примет вид
3	3	3
x x cose e X ,			(21)
1	1	1
в котором коэффициенты
	cose e	A ,	(22)

характеризующие ориентацию новой системы координат относительно старой, называются направляющими косинусами. Учитывая определение

(20) и обозначение (22), соотношение радиус-векторов (21) можно представить в виде

3
x X x A .	(23)
1

Полученное соотношение между старыми и новыми координатами можно записать в развернутом виде:

x X Axx x Axy y Axz z ,
y Y Ayx x Ayy y Ayz z ,	(24)
z Z Azx x Azy y Azz z .

Направляющие косинусы образуют так называемую матрицу поворота осей координат:

ˆ	A	A	A
ˆ	xx	xy	xz
A Ayx		Ayy	Ayz .	(25)
	A	A	A
	zx	zy	zz

В случае, когда R 0 , мы имеем дело только лишь с преобразованием базисных векторов без их параллельного переноса. Тогда (23) принимает вид:

3
x A x .	(26)

Раньше уже было отмечено, что вектор представляет собой набор трех чисел.

Но не всякая физическая величина, характеризуемая тремя числами, является

вектором. Чтобы физическая величина была вектором, необходимо, чтобы эти три числа вели себя при переходе из одной системы координат в другую

как компоненты радиус-вектора при преобразованиях (26). Ниже мы уточним данное определение.

Выражение (26) можно представить в векторно-матричном виде:

x		Axx	Axy
y	A		A
		yx	yy
z		A	A
		zx	zy

Axz

Ayz

Azz

x
	,	(27)
y	,	(27)
z

определив тем самым, правило перемножения матрицы на вектор. Согласно

(27), например, для вычисления первой компоненты x вектора	r ,	надо
сложить произведения элементов первой строки матрицы	ˆ	на
сложить произведения элементов первой строки матрицы	A	на
соответствующие компоненты вектора r .

Рис.7

Заметим, что вектор можно представить либо в виде строки (1), либо в виде столбца, как мы это сделали в соотношении (27). Оба способа представления равноправны. Только надо иметь в виду, что определив,

например, вектор в виде строки, его запись в виде столбца будет означать его транспонирование. Под транспонированием понимают операцию замены строк столбцами и наоборот. Т.е.

x
	T	(28)
y	x, y, z .	(28)

z

Скалярное произведение (7) при этом можно представить в виде матричного умножения вектора a на транспонированный вектор b

	bx
ab axbx ayby azbz		ax	,ay ,az bx	,by	,bz .	(29)
ab axbx ayby azbz	ax ,ay ,az by	ax	,ay ,az bx	,by	,bz .	(29)
					T

	bz

Рассмотрим поворот осей координат на угол в плоскости z 0 . Из рис. 7

видно, что связь между ортами начальной и повернутой систем координат представима в виде

		ex ex cos ey sin ,
		ey	ex sin ey cos ,				(30)
			ez ez .
Поэтому	exex Axx	cos ,	exey Axy sin ,		eyex Ayx sin		и
eyey Ayy cos . Учитывая,			что	координата z	вектора при	этом	не
изменяется,	получим	соотношение,		определяющее	с помощью	матрицы
ˆ
поворота Az переход от нового вектора r к старому r :

xyz

cos

sin0

sin	0	x
cos	0		ˆ	(31)
cos	0	y	или r Az r	(31)
0	1
0	1	z

		ˆ	определяет переход от старого вектора
Матрица обратного поворота Az
r к новому r :
				ˆ	r .				(32)
		r Az
Непосредственным вычислением нетрудно показать, что
		ˆ		ˆ	ˆ	ˆ
		det Az 1,		Az Az		E,			(33)
ˆ 1	ˆ	ˆT			ˆ	ˆ	ˆ
								1	2 ,
Az	Az Az			, Az 1		Az 2	Az

где ˆ – единичная матрица (матрица, все элементы которой равны единице),

ˆ	ˆ 1	– матрица, обратная		ˆ
det Az –	определитель матрицы, Az	– матрица, обратная		к Az .
Напомним,		ˆ 1	ˆ	ˆ
Напомним,	что по определению обратного элемента Az		Az	E . Под

определителем матрицы понимают следующую конструкцию:

Источник: https://studfile.net/preview/16707367/

Смотрите также:






Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие