Материал: lektsia_4

Допустим, т ij—случайная величина, которая для любых ком­бинаций i, j описывается экспоненциальным законом с функци­ей распределения

(3)

Здесь λ_ij— интенсивность переходов системы из i-го в j-е состояние:

(4)

где Tij — среднее время пребывания системы в м состоянии до перехо­да в j-е состояние.

При сделанных допущениях процесс переходов системы из одного состояния в другое будет марковским, так как экспоненциальный за­кон имеет свойство отсутствия последействия (отсутствие «памяти»), что является характеристическим признаком марковского процесса.

Рассмотрим процесс перехода системы из одного состояния в другое за бесконечно малый промежуток времени Δt.

По определению т.е. функция распределе­ния равна вероятности того, что за время Δt будет осуществлен переход из i-го в j-е состояние:

(5)

В силу ординарности экспоненциального закона распределе­ния система, перейдя из i-го состояния в j-е, не успеет перейти в какое-либо другое состояние за время Δt.

Разложим в выражении (5) функцию в ряд Тейлора

(6)

В нашем случае

Следовательно

Подставляя полученные значения в (6), получаем:

В этом выражении все члены, начиная с

я вляются ве­личинами высшего порядка малости по сравнению с At, поэто­му ими можно пренебречь, отсюда

П

(7)

одставляя это выражение в (5), получаем, что вероятность перехода системы из состояния i в состояние j за бесконечно малый промежуток времени Δt равна:

Матрица вероятностей переходов в этом случае имеет вид:

(8)

В

(9)

случае, когда вероятности переходов являются функциями времени, вероятности состояний тоже являются функциями вре­мени, и уравнение (2) принимает следующий вид:

(9)

где Pj(t) — вероятность того, что рассматриваемая система находится в /-м состоянии в момент времени /;

Pj(t + Δt) — вероятность пребывания системы в j-м состоянии в мо­мент времени I + Д/;

Pjj(Δt) — вероятность перехода системы из i-го в у'-е состояние за вре­мя Δt

п — число состояний системы.

Выражение (4.9) носит название уравнения Колмогорова, в честь советского математика А.Н. Колмогорова (1903—1987), впервые разработавшего математический аппарат исследования марковских процессов, в которых вероятности состояний и пе­реходов являются функциями времени.

Д

(10)

ля того чтобы марковский процесс, зависящий от времени, был полностью определен, необходимо кроме матрицы вероят­ностей переходов задать —начальное распределение веро­ятностей состояний в момент времени t= 0.

Имея распределение (10) и матрицу (8), с помощью урав­нения Колмогорова (9) можно рассчитать вероятности Pi(t), с которыми рассматриваемая система будет находиться в i-м со­стоянии i= 1,2, ...,n в произвольный момент времени t.

2. Надежность объектов с двумя возможными состояниями — схема «отказ-—восстановление»

Рассмотрим технический объект, который функционирует сле­дующим образом: объект работает непрерывно до отказа, после которого немедленно начинается восстановление его работоспо­собного состояния, после восстановления объект сразу вступает в работу и работает непрерывно до следующего отказа и т.д.

Рисунок 4 - Временная диаграмма

Временная диаграмма функционирования объекта представлена на рис. 4.

Здесь:

τ_i — время безотказной работы до i-го отказа;

τ_bi— время восстановления работоспособности после i-го отказа.

В процессе функционирования объект может находиться в произвольно взятый момент времени в одном из двух состояний.

1. Объект работоспособен, выполняет свои функции.

2. Объект неработоспособен, восстанавливается после отказа.

Предположим, что время безотказной работы и время восста­новления работоспособности являются экспоненциально распре­деленными случайными величинами. При этом допущении про­цесс функционирования рассматриваемого объекта является мар­ковским. Обозначим:

F (t) — функция распределения времени безотказной работы

г де λ— интенсивность отказов (или параметр потока отказов со, так как для простейшего потока отказов λ = ω),

где Т₀ — среднее время безотказной работы.

F_B(t)— функция распределения времени восстановления рабо­тоспособности

г де — интенсивность восстановления,

где —среднее время восстановления.

При отказе объекта он переходит из 1-го состояния во 2-е, а при восстановлении работоспособности — из 2-го в 1-е.

Для решения этой системы необходимо задать начальные ус­ловия. Здесь их может быть два:

Вероятности переходов за бесконеч­но малый промежуток времени Δt в со­ответствии с (7) определяются в виде:

Рисунок 5- Граф переходов системы с двумя состояниями

Если за время Δt не происходит отказ объекта, то он остается в 1-м состоянии с вероятностью 1 - ; если за время Δt работоспособность отказавшего объекта не будет восстановлена, то он остается во 2-м состоянии с вероятностью 1 –

Граф переходов рассматриваемого объекта показан на рис. 5.

В соответствии с рекуррентной формулой (9) запишем урав­нения Колмогорова, связывающие между собой вероятности

Раскрыв скобки, перенеся в i-м уравнении (i = 1—2) из пра­вой части в левую и разделив обе части равенств на Δt, получим

Перейдем к пределу при Δt→0, и, учитывая то, что

получим систему дифференциальных уравнений:

(11)

Для решения этой системы необходимо задать начальные ус­ловия. Здесь их может быть два:

а) , , если в начальный момент времени объект находится в работоспособном состоянии;

б) , , если в начальный момент времени объект восстанавливается.

С

(12)

истему дифференциальных уравнений проще всего решить опера­торным методом. Обозначим преобразование Лапласа символом L:

т.е. преобразование Лапласа L переводит функцию P(t) в изоб­ражение P(s), а производную P'{t) в ее изображение sP{s) - Р(0). Здесь s — оператор Лапласа; Р(0)— начальное условие .

Применив преобразование Лапласа (12) к системе дифферен­циальных уравнений (11) при начальных условиях а, получим следующую систему алгебраических уравнений:

(13)

(14)

Решив систему уравнений (13), получим изображение Pi(s), оно равно:

Для того чтобы привести выражение P_i(s) к табличному, умно­жим и разделим правую часть на величину, равную (λ+μ). В ре­зультате получим:

По таблице обратного преобразования Лапласа находим

Так как в любой момент времени система находится либо в 1-м, либо во 2-м состоянии, то

Рисунок 6 - Зависимости вероятностей состояний от времени состояниями

Подставив в (15) выражение (14), получим