Материал: lektsia_4

(16)

Графики функций P₁(t) и Р₂(t) показаны на рис. 6 сплошны­ми линиями

Решив систему дифференциальных уравнений (11) при началь­ных условиях б, получим следующие выражения вероятностей состояний рассматриваемого объекта:

(17)

Н

(17)

Из выражений (14), (16) и (17), а также из графиков (см. рис. 6) видно, что у процесса функционирования рассматрива­емого объекта существует установившийся режим, в котором ве­роятности состояний перестают зависеть от времени и независи­мо от начальных условий принимают установившиеся (финаль­ные) значения Р₁ и Р₂.

Вероятности (18)

т. е. они характеризуют надежность объекта при его длительной эксплуатации.

Р₁ — вероятность того, что объект окажется в работоспособ­ном состоянии в произвольно взятый момент времени t, доста­точно удаленный от начала эксплуатации,

Р₂ — вероятность того, что в произвольный достаточно уда­ленный от начала эксплуатации момент времени t объект ока­жется неработоспособным.

Нельзя путать вероятности Р₁ и Р₂, с вероятностью безотказ­ной работы и вероятностью отказа, так как последние характе­ризуют непрерывный режим эксплуатации объекта. Вероятнос­ти Р₁ и Р₂ формируются в результате неоднократного прерыва­ния процесса эксплуатации, смены работоспособного и нерабо­тоспособного состояний.

Установившиеся значения вероятностей Р₁ и Р₂ можно опре­делить, не решая систему дифференциальных уравнений (11) .

Поскольку в установившемся режиме Р₁ = const и Р₂ = const, то и , а система (4.11) превращается в систему

(19)

Решив систему уравнений (19) при условии Р₁+Р₂= 1, по­лучим выражения финальных вероятностей Р₁ и Р₂.

(20)

Выразив в (20) интенсивности μ и λ через среднее время получим

Сумма Т₀ + Т_в определяет среднюю продолжительность одно­го цикла «безотказная работа — восстановление» процесса фун­кционирования, который у рассматриваемого объекта заключа­ется в постоянном повторении этого цикла (рис. 7).

Отношение показывает, какую долю в средней продолжительности одного цикла занимает среднее время, в течение которого объект находится в работоспособном состоянии, т.е. готов выполнять свои функции. Поэтому вероятность Р₁ назы­вается коэффициентом готовности

(21) Если, например, К_r= 0,8, то это означает, что в среднем 80 % времени рассматриваемый объект находится в работоспособном состоянии и готов выполнять свои функции.

Поскольку марковские процессы обладают эргодичностью , в соответствии с которой среднее по времени равно среднему по ансамблю, при ЛГ_г = 0,8 из каждых 10 объектов в любой произ­вольно взятый момент времени, достаточно удаленный от начала эксплуатации, в среднем 8 объектов находятся в работоспособном со­стоянии, а 2 объекта восстанавли­ваются после отказа.

Рисунок 7- Средние показатели продолжительности одного цикла

Из рассмотренного примера ана­лиза надежности объектов с двумя возможными состояниями можно сформулировать следующий ал­горитм решения задач на основе теории марковских процессов.

1. На основе анализа процесса функционирования выделяют­ся характерные состояния, в которых может находиться рассмат­риваемый объект.

2. Разрабатывается математическая модель функционирования рассматриваемого объекта в виде графа переходов или матрицы вероятностей переходов.

3. Записывается система уравнений Колмогорова, связываю­щая между собой вероятности нахождения объекта в каждом из состояний в соседние моменты времени t и t + Δt.

4. Полученная система конечно-разностных уравнений преоб­разуется в систему дифференциальных уравнений, решение кото­рой при заданных начальных условиях, дает зависимости Pi(t) для всех п рассматриваемых состояний объекта.

5. Если граф переходов рассматриваемого объекта является связным, т.е. объект из любого состояния может перейти в лю­бое другое состояние за конечное число шагов, то процесс его функционирования имеет установившийся режим, в котором ве­роятности всех состояний перестают зависеть от времени, прини­мая финальные значения

6.В установившемся режиме система дифференциальных уравнений преобразуется в систему алгебраических уравнений,

так как

Решение полученной системы алгебраических уравнений при условии

Дает значения финальных вероятностей Р_i , i = 1, 2, ..., п.

3. Математическая модель процесса функционирования локомотива

У любой единицы тягового подвижного состава (для кратко­сти будем употреблять термин локомотив, подразумевая под этим не только электровозы и тепловозы, но и электро- и дизель-поез­да) в процессе эксплуатации могут возникать отказы двух типов.

1. Отказ первого типа, при возникновении которого работос­пособное состояние локомотива восстанавливается локомотив­ной бригадой в пути следования.

2. Отказ второго типа, который требует для восстановления работоспособного состояния локомотива постановки его в депо (ПТОЛ) на плановый ремонт.

В процессе функционирования локомотив может находиться в следующих состояниях.

1. Локомотив находится в работоспособном состоянии и вы­полняет свои функции — работает.

2. Локомотив восстанавливается в пути следования после от­каза первого типа.

3. Локомотив находится в ожидании внепланового ремонта после отказа второго типа.

4. Производится восстановление работоспособного состояния локомотива на внеплановом ремонте.

5. Ожидание начала эксплуатации после окончания внеплано­вого ремонта.

6. Отстой по неравномерности движения.

7. Ожидание начала планового ремонта.

8. Плановый ремонт.

9. Ожидание начала эксплуатации после окончания планово­го ремонта.

Граф переходов локомотива из одного состояния в другое за бесконечно малый промежуток времени Δt при условии, что все временные параметры процесса функционирования локомотива являются случайными величинами, распределенными по экспо­ненциальному закону каждый со своей интенсивностью, показан на рис. 8.

Вероятности переходов локомотива из одного состояния в другое за бесконечно малый промежуток времени Δt записыва­ются следующим образом:

—вероятность возникновения отказа первого типа;

, Tо— среднее значение наработки на отказ первого типа;

Рисунок 8– Граф перехода локомотива

— вероятность возникновения отказа второго типа;

— вероятность восстановления работоспособности пос­ле

отказа первого типа;

— среднее время восстановления работоспособности после отказа первого типа;

— вероятность постановки локомотива в депо для про­ведения внепланового ремонта;

— среднее время ожидания начала внепланового ремонта;

— вероятность окончания внепланового ремонта;

— среднее время внепланового ремонта;

— вероятность выдачи локомотива в эксплуатацию пос­ле внепланового ремонта;

— cреднее время ожидания начала эксплуатации после внепланового ремонта;

—вероятность постановки локомотива в отстой по не­равномерности движения;

-средняя продолжительность работы локомотива до постановки в отстой;

— вероятность окончания отстоя (выдачи локомотива в эксплуатацию);

— среднее значение времени отстоя;

— вероятность изъятия локомотива из эксплуатации для проведения планового ремонта;

–средняя продолжительность работы локомотива до постановки на

плановый ремонт;

— вероятность постановки локомотива в депо для про­ведения планового ремонта;

— среднее время ожидания начала планового ре­монта;

— вероятность окончания планового ремонта;