Материал: m33751_8
Тема 8. Случайные величины и их числовые характеристики Дискретные случайные величины
Дискретной называют случайную величину, все возможные значения которой есть отдельные изолированные числа, каждое из которых случайная величина принимает с определенной вероятностью.
Например, число мальчиков среди ста новорожденных детей есть случайная величина, возможные значения которой есть целые положительные числа от 0 до 100.
Дискретные
случайные величины обозначают заглавными
буквами латинского алфавита X,
Y, а отдельные значения
дискретной случайной величины обозначаются
строчными буквами латинского алфавита
с натуральным индексом
,
где
.
Законом
распределения дискретной случайной
величины X называют
соответствие между ее возможными
значениями
и их вероятностями
.
Закон распределения дискретной случайной
величины имеет вид таблицы из 2-х строк,
которая называется ряд распределения
вероятностей.
x |
|
|
… |
|
p |
|
|
… |
|
Заметим,
что сумма вероятностей всех возможных
значений дискретной случайной величины
равна единице
.
Кроме
табличной формы закон распределения
дискретной случайной величины может
быть представлен
графически.
В этом случае в прямоугольной системе
координат на плоскости строят точки
,
,
…,
и соединяют их отрезками прямых.
Полученную фигуру называют полигоном
вероятностей или
многоугольником
распределения.
Числовые характеристики дискретных случайных величин
Одной из основных числовых характеристик дискретной случайной величины является ее математическое ожидание. Математическое ожидание называют ожидаемым (средним взвешенным) значением случайной величины X, а также центром ее распределения.
Математическое ожидание дискретной случайной величины равно сумме произведений всех ее возможных значений на их вероятности
. (8.1)
Свойства математического ожидания
Свойство
1. Математическое ожидание постоянной
величины равно самой постоянной
величине
.
Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания
.
Свойство 3. Математическое ожидание алгебраической суммы случайных величин X, Y равно такой же алгебраической сумме математических ожиданий слагаемых
.
Свойство 4. Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин X, Y равно произведению математических ожиданий сомножителей
.
Характеристиками рассеяния (разброса) возможных значений случайной величины вокруг ее математического ожидания служат дисперсия и среднее квадратическое отклонение.
Дисперсия случайной величины равна математическому ожиданию квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания
. (8.2)
Среднее квадратическое отклонение случайной величины равно корню квадратному из дисперсии этой величины
. (8.3)
Из
последнего равенства следует, что
.
В связи с этим для дисперсии часто
используется обозначение
.
Упрощенная формула для вычисления дисперсии
. (8.4)
Свойства дисперсии
Свойство 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю
.
Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат
.
Свойство 3. Дисперсия суммы или разности независимых случайных величин X и Y равна сумме их дисперсий
.
Вопросы для самопроверки
1. Какие случайные величины называются дискретными? Приведите примеры дискретных случайных величин?
2. Что называется законом распределения случайной величины. Какими способами задается закон распределения для дискретной случайной величины?
3. Дайте определения и напишите формулы для вычисления математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения дискретной случайной величины.
4. Перечислите свойства математического ожидания и дисперсии случайной величины. Что характеризует дисперсия?
5. Чем является математическое ожидание?
Задание
11. В задачах 11.1–11.30 указаны законы
распределения независимых
дискретных случайных величин X
и Y. Случайная величина
Z определяется
выражением
.
Требуется найти математическое ожидание
,
дисперсию
и среднее квадратическое отклонение
дискретной случайной величины Z.
-
11.1.
x
–5
0
2
8
y
3
4
5
A
–2
p
0.1
0.3
0.4
0.2
p
0.3
0.2
0.5
B
1/9
11.2.
x
–9
–1
5
7
y
–7
0
1
A
–1
p
0.2
0.1
0.2
0.5
p
0.1
0.3
0.6
B
5
11.3.
x
–1
2
5
6
y
–1
4
7
A
1/5
p
0.2
0.1
0.5
0.2
p
0.2
0.1
0.7
B
8
11.4.
x
–6
–2
4
8
y
–5
–4
7
A
1/6
p
0.1
0.6
0.2
0.1
p
0.1
0.8
0.1
B
–2
11.5.
x
–2
6
7
8
y
–5
5
7
A
1/2
p
0.1
0.2
0.3
0.4
p
0.3
0.5
0.2
B
4
11.6.
x
–9
–6
–3
3
y
–8
–5
5
A
–6
p
0.6
0.1
0.1
0.2
p
0.8
0.1
0.1
B
7
11.7.
x
–6
–5
–4
2
y
–8
–6
3
A
1/2
p
0.4
0.1
0.2
0.3
p
0.7
0.2
0.1
B
2
11.8.
x
–9
–5
–4
4
y
–7
–6
5
A
1/5
p
0.6
0.2
0.1
0.1
p
0.1
0.4
0.5
B
–1
11.9.
x
–2
–1
1
3
y
–3
–1
9
A
8
p
0.2
0.1
0.3
0.4
p
0.1
0.7
0.2
B
–3
11.10.
x
–5
0
3
6
y
–3
–2
–1
A
3
p
0.3
0.1
0.1
0.5
p
0.1
0.2
0.7
B
1/2
11.11.
x
–9
–2
3
6
y
–8
–7
–1
A
2
p
0.1
0.3
0.4
0.2
p
0.3
0.2
0.5
B
–4
11.12.
x
–1
0
4
6
y
–1
7
8
A
–2
p
0.2
0.1
0.2
0.5
p
0.1
0.3
0.6
B
–3
11.13.
x
–6
–5
–4
3
y
–6
–4
7
A
3
p
0.2
0.1
0.5
0.2
p
0.2
0.1
0.7
B
1/6
11.14.
x
–7
–4
1
4
y
–5
3
8
A
–2
p
0.1
0.6
0.2
0.1
p
0.1
0.8
0.1
B
1/2
11.15.
x
–2
2
4
5
y
–9
3
7
A
2
p
0.1
0.2
0.3
0.4
p
0.3
0.5
0.2
B
1/3
11.16.
x
0
3
6
7
y
–7
–1
6
A
1/4
p
0.6
0.1
0.1
0.2
p
0.8
0.1
0.1
B
–2
11.17.
x
–4
–3
3
5
y
3
4
7
A
5
p
0.4
0.1
0.2
0.3
p
0.7
0.2
0.1
B
1/9
11.18.
x
–3
–2
3
4
y
–7
–3
0
A
1/6
p
0.6
0.2
0.1
0.1
p
0.1
0.4
0.5
B
–4
11.19.
x
–2
1
3
6
y
–6
–1
4
A
1/9
p
0.2
0.1
0.3
0.4
p
0.1
0.7
0.2
B
6
11.20.
x
–1
1
2
4
y
–1
0
5
A
4
p
0.3
0.1
0.1
0.5
p
0.1
0.2
0.7
B
1/3
11.21.
x
0
5
7
8
y
–2
–1
1
A
–7
p
0.1
0.3
0.4
0.2
p
0.3
0.2
0.5
B
3
11.22.
x
–5
–4
–3
2
y
–9
–4
7
A
–2
p
0.2
0.1
0.2
0.5
p
0.1
0.3
0.6
B
1/6
11.23.
x
–9
–7
5
7
y
–8
–3
3
A
1/3
p
0.2
0.1
0.5
0.2
p
0.2
0.1
0.7
B
9
11.24.
x
–4
–3
3
7
y
–2
1
5
A
–4
p
0.1
0.6
0.2
0.1
p
0.1
0.8
0.1
B
1/4
11.25.
x
–8
–1
5
9
y
–5
2
4
A
3
p
0.1
0.2
0.3
0.4
p
0.3
0.5
0.2
B
1/7
11.26.
x
–5
–4
0
2
y
–3
–2
0
A
4
p
0.4
0.3
0.1
0.2
p
0.1
0.7
0.2
B
1/3
11.27.
x
–4
0
2
3
y
–2
0
1
A
–1
p
0.1
0.3
0.5
0.1
p
0.2
0.3
0.5
B
1/2
11.28.
x
–5
–3
–2
1
y
–1
1
3
A
3/2
p
0.1
0.7
0.1
0.1
p
0.1
0.1
0.8
B
4/3
11.29.
x
–7
–3
0
2
y
0
2
5
A
–1
p
0.3
0.4
0.2
0.1
p
0.7
0.1
0.2
B
1/5
11.30.
x
–3
0
2
5
y
1
3
7
A
1/2
p
0.2
0.6
0.1
0.1
p
0.2
0.2
0.6
B
–2
Решение типовых примеров
Пример 8.1. Пусть заданы законы распределения независимых дискретных случайных величин X и Y. Случайная величина Z определяется выражением .
Требуется найти математическое ожидание , дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Z
x |
−8 |
−4 |
−1 |
3 |
|
y |
−2 |
1 |
3 |
|
A |
−5/2 |
p |
0.4 |
0.2 |
0.1 |
0.3 |
|
p |
0.4 |
0.5 |
0.1 |
|
B |
2/5 |
Решение.
Математическое
ожидание заданных случайных величин
и
можно найти по формуле (8.1). В нашем случае
,
.
При
вычислении дисперсий случайных величин
X и Y воспользуемся
универсальной формулой (8.4). Для этого
составим законы распределения случайных
величин
и
и вычислим математические ожидания
и
|
64 |
16 |
1 |
9 |
|
|
4 |
1 |
9 |
p |
0.4 |
0.2 |
0.1 |
0.3 |
|
p |
0.4 |
0.5 |
0.1 |
,
.
В результате дисперсия случайных величин X и Y запишется в виде
,
.
Для
определения числовых характеристик
случайной величины
воспользуемся свойствами математического
ожидания и дисперсии
,
.
При известной дисперсии среднее квадратическое отклонение определяется по формуле (8.3).
В нашем случае
.
Непрерывные случайные величины
Непрерывной называют случайную величину, все возможные значения которой сплошь заполняют некоторый конечный или бесконечный интервал числовой оси. Все возможные значения непрерывной случайной величины нельзя перечислить.