Материал: m33751_8
Примеры непрерывных случайных величин: а) длина ступни человека; б) диаметр ствола дерева; в) объем легких человека.
Функция и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины
Функцией
распределения (вероятностей)
непрерывной случайной величины X
называют функцию
,
равную для каждого действительного
числа x вероятности того, что случайная
величина X примет
значение, меньшее x
.
Заметим, что наряду с термином «функция распределения (вероятностей)» часто используется термин «интегральная функция распределения».
Свойства функции распределения вероятностей
Свойство
1. Значения функции распределения
вероятностей
принадлежат отрезку
:
,
причем
,
.
Свойство
2. Функции распределения вероятностей
– неубывающая функция, т.е. если
,
то
и наоборот.
Свойство
3. Вероятность того, что случайная
величина X примет
значение, принадлежащее интервалу
,
равна приращению функции распределения
на этом интервале
.
Следствие.
Вероятность того, что непрерывная
случайная величина X
примет одно конкретное значение
равна нулю
.
Свойство
4. Если все возможные значения случайной
величины X принадлежат
интервалу
,
то
Плотностью распределения (вероятности) непрерывной случайной величины называют первую производную от функции распределения
.
Заметим,
что наряду с термином «плотность
распределения (вероятности)»
часто используется термин «дифференциальная
функция распределения». График функции
называется «кривой распределения».
Свойства плотности распределения вероятностей
Свойство 1. Значения плотности распределения вероятностей есть неотрицательные числа
.
Свойство 2. Вероятность того, что случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу , равна определенному интегралу от плотности распределения вероятностей в указанных пределах
. (8.5)
Геометрический смысл. Вероятность попадания в интервал для непрерывной случайной величины определяется как площадь, ограниченная графиком функции плотности распределения на заданном отрезке оси Ox.
Числовые характеристики непрерывных случайных величин
Математическое ожидание непрерывной случайной величины равно несобственному интегралу
. (8.6)
Все свойства математического ожидания, указанные для дискретных случайных величин, сохраняются и для непрерывных.
Дисперсия непрерывной случайной величины определяется как
. (8.7)
Для вычисления дисперсии непрерывной случайной величины также применима формула
. (8.8)
Все свойства дисперсии, указанные для дискретных случайных величин, сохраняются и для непрерывных.
Замечание.
Если
для всех
,
то интегралы в формулах (8.6)–(8.8) берутся
по
.
Вопросы для самопроверки
1. Что называют дифференциальной и интегральной функциями распределения? Перечислите свойства указанных функций.
2. Как найти математическое ожидание и дисперсию непрерывной случайной величины?
3. Как
вычислить вероятность попадания в
интервал
для непрерывной случайной величины?
Задание
12. В задачах
12.1–12.30 непрерывная случайная величина
X
задана с помощью интегральной функции
распределения
.
Требуется: а)
найти дифференциальную функцию
распределения
случайной величины X;
б)
найти математическое ожидание
и дисперсию
случайной величины X;
в)
вычислить и изобразить геометрически
вероятность попадания случайной величины
X
в заданный интервал
;
г) построить
графики функций распределения
и
.
12.1. 
= –2; 
= 2.
12.2. 
= –1;
= 1.
12.3. 
= –2;
= 1.
12.4. 
= –2;
= 1.
12.5. 
= –5;
= 1.
12.6. 
= –1/2;
= 1/2.
12.7. 
= –4;
= 3.
12.8. 
= –2;
= 4.
12.9. 
= –1;
= 3.
12.10. 
= –2;
= 2.
12.11. 
= –1;
= 2.
12.12. 
= –1;
= 1.
12.13. 
= –2;
= 2.
12.14. 
= –2;
= 5.
12.15. 
= –5;
= 5.
12.16. 
= –2;
= 2.
12.17. 
= –1;
= 1.
12.18. 
= –2;
= 3.
12.19. 
= –3;
= 2.
12.20. 
= –1;
= 1.
12.21. 
= –2;
= 3.
12.22. 
= –1/5;
= 2/5.
12.23. 
= –1;
= 2.
12.24. 
= –1;
= 1.
12.25. 
= –3;
= 3.
12.26. 
= –1/2;
= 1/2.
12.27. 
= –5/3;
= –2/3.
12.28. 
= –1/3;
= 4/3.
12.29. 
= 1;
= 2.
12.30. 
= –1/3;
= 2/3.
Решение типовых примеров
Пример 8.2. Непрерывная случайная величина X задана с помощью интегральной функции распределения
Требуется:
а)
найти дифференциальную функцию
распределения
случайной величины X;
б)
найти математическое ожидание
и дисперсию
случайной величины X;
в)
вычислить и изобразить геометрически
вероятность попадания случайной величины
X
в заданный интервал
;
г) построить
графики функций распределения
и
.
Решение.
Дифференциальная
функция распределения
непрерывной случайной величины X
определяется как первая производная
от интегральной функции распределения
.