Материал: Математические методы системного анализа и управления. Проблемно-ориентированные информационные технологии. Проскурин Д.К., Сысоев Д.В

вступает в отношение независимости к под-

системе Sj G ((Si, Sj) >I н или Si >I н Sj ),

если Si 0 Sj и подсистема Sj G вступает в отношение независимости к подсистеме Si

G ((Si, Sj) >I н или Si >I н Sj) если Si 0 Sj.

Определение 2. Подсистема Si вступает в отношение конфликта к подсистеме Sj

((Si, Sj) >I или Si >I Sj ), если (Si, Sj) >I дqj(si) < 0 и подсистема Sj вступает в отношение конфликта к подсистеме Si ((Sj, Si)

ет в отношение сотрудничества (содействия) к подсистеме Sj ((Si, Sj) >Iс или Si >Iс Sj ), если (Si, Sj) >I д qj(si) > 0 и подсистема Sj вступает в отношение сотрудничества (содействия) к подсистеме Si ((Sj, Si) >Iс или

Sj >Iс Si), если (Si, Sj) >I д qi(sj) > 0.

Определение 4. Подсистема Si вступает в отношение безразличия к подсистеме Sj

((Si, Sj) >Iб или Si >Iб Sj ), если (Si, Sj) >I дqj(si) = 0 и подсистема Sj вступает в отно-

1)ввзаимонезависимоcти ((Si, Sj) >I ssн ),

если (Si, Sj) >I н (Sj, Si) >I н .

2)взаимоконфликта ((Si, Sj) >I ss ), если

(Si, Sj) >I (Sj, Si) >I;

3)взаимосотрудничества ((Si, Sj) >I ssс ),

если (Si, Sj) >Iс (Sj, Si) >Iс

4)взаимобезразличия ((Si, Sj) >I бss ), ес-

ли (Si, Sj) >Iб (Sj, Si) >Iб.

Заметим, что определения (1) - (4) выражают односторонние отношения, тогда как определение (5) – двустороннее отношение.

Построение выше введенных отноше-

ний на всем множестве S2 связано с формированием так называемых матриц достижи-

мости D+(G) = [d ij ]N N и контрадостижимо-

сти D (G) = [d ij ]N N , алгоритмы построения

которых известны [8]. Элементы матриц определяются следующим образом:

Откуда следует, что D = ( D+)tr, где (D+)tr – транспонированная матрица достижимостей D+.

Независимость в целом

Особый интерес в смысле изучения взаимодействия имеет множество (класс) подсистем, вступающих в отношения независимости и рассмотрение его влияния на механизм формирования целостных свойств системы.

Напомним, что по определению 5 >I ssн = >I н >I н - множество взаимонезависимых бинарных отношений типа Si 0 Sj , а по определению 1 >I н S2 – множество независимых бинарных отношений типа

ния определяют на S множества сечений:

 >I (S ) = >I (Si), >I (S ) =

н н i н н н

= {Sj S: Si S н Si >I н Sj}, где S н = = {Si S: Sj >I н (S н ) Si >I н Sj}. Другими словами >I н (S н ) – множество подсистем, с

каждой из которых вступает в отношение независимости хотя бы одна подсистема

множества S н S, (S н – множество подси-

стем каждая из которых вступает в отношение независимости хотя бы с одной подси-

стемой из >I н (S н ) S);

 >I (S ) = >I (Si), >I (S ) = {Sj

н н i н н н

S: Si S н Si >I н Sj}, где S н = {Si S: Sj

>I н (S н ) Si >I н Sj}. Другими словами >I н (S н ) – множество подсистем, каждая из ко-

торых вступает в отношение независимости хотя бы с одной подсистемой из множества S

из которых вступает в отношение независи-

= {Si S: Sj >I ssн (S sн ) Si >I ssн Sj}. Други-

стем, каждая из которых вступает в отношение взаимонезависимости хотя бы с одной

подсистемой из множества подсистем S sн S (S sн – множество подсистем, с каждой из которых вступает в отношение взаимонезави-

вующих в формировании отношения независимости, т.е. Si Sн Sj Sн, что Si >I н Sj

Построенные сечения позволяют определить на множестве S2 бинарные отноше-

>Iн), негатранзитивные отношения, где >Iн = = >I н .>I н ;

 отношение >I н является обратным к отношению >I н и наоборот, т.е. (>I н )-1 = >I н

S, S он ={Si S: Sj S, Si >I ssн Sj , j = 1, N , j i} таких подсистем, каждая из которых всту-

пает в отношение >I ssн со всеми оставшимися подсистемами из S [8]. Если Si S он , то >I д

Si 0 Sj } множеством изолированных подсистем. Понятно, что S он S ssн Sн S и

Xi Xj = , Yi Yj = для любых Si, Sj S он .

Утверждение 1. Всегда существует та-

= ( Sk, Ek) таких, что Pr(S) = { S, G, R}= = S, G = ( S, E) – гиперграф и F – сово-

купность аддитивных операций типа сложения (+), например F = f1 + f2+ ... + fn. Здесь Pr – некоторый оператор преобразования системы, знаком ( ) обозначено наличие системных целостных свойств, представление компонент системы на множествах S, R и графа G в виде подсистем.

Заметим, что утверждение 1 не исключает наличия изолированных элементов в

Например, в качестве показателя эффективности можно ввести меру, характеризующую в некоторой степени "близость" меду системами S и S: ( ) = (S, S) =( S, S). Это может быть, например, суммарное число дуг, попадающее в - разрез,

= | q(x, R(c, x)) - q(x, R(c, x)) | или в виде

{B ( Gk)} = {{B *( Gk)}:{ *} (S, S) = Opt }.

Условия формирования конфликта

Для приведенной системы теряют смысл определения 2 – 4 и 5 в части 2), 3), 4) по отношению к подсистемам множества S, но это совсем не означает, что они не имеют смысла к самой системе S в целом [1, 8].

Изолированные подсистемы участвуют в формировании интегральных целостных свойств через сигнатуру F и, следовательно, могут вступать в отношения конфликта ( Sk >I S), содействия ( Sk >Iс S), и безразличия ( Sk >Iб S) с S и наоборот. В предположении, что собственные действия системы S и подсистем Sk направлены на повышение своей полезности естественно наличие под-

множеств Xk (>I), Xk (>Iс), Xk (>Iб) Xk

где возможно одно из рассматриваемых выше бинарных отношений соответственно, в том числе и симметричных.

В этих условиях, совокупность локаль-

стей системы q(x) S так называемый частичный конфликт [1]. Синтез частично конфликтных решений эквивалентен решению задачи оптимизации вида

где Opt – оператор, реализующий один из принципов векторной оптимизации; X = = X1 X2 … Xn , x = (x1, x2, …, хn)

X, xk = (x1k, x2k, …, xmk) Xk, k = 1, n .

Естественным становится стремление провести декомпозицию задачи (2) с целью сокращения ее размерности и формирования подмножеств Xk (>I), Xk (>Iс), Xk (>Iб)

Xk, представить ее в виде последовательности локальных задач

с последующим объединением локальных решений в окончательное.

Рассматривая эту проблему заметим, что областью определения функции полезности q(x) = q(x, R(c, x)) для системы S в целом является декартово произведение X, а областью определения локальных функций полезности qk(xk) = qk(xk, Rk(ck, xk)) для Sk - соответственно Xk, k = 1, n . И так как qk(xk) являются функциями полезностей, то каждая из них на множестве Xk устанавливают слабый линейный порядок lk = lk( qk). В условиях независимости предпочтений [12] для отдельных подсистем функция полезности q(x) также устанавливает свой слабый линейный порядок Lk = Lk( q) на множестве Xk, причем один и тот же для любых

xi Xi , i= 1, n и i k.

Заметим, что условия независимости предпочтений в смысле полезности q(x) с одной стороны достаточно сильные, а с другой – их естественно предположить для нашего случая (независимости подсистем). Практически для проверки независимостиXi по полезности относительно Xk ( i k ) достаточно убедиться в этом ( Lk не меняется ) для трех – четырех значений xi Xi в совокупности "покрывающих" множество Xi и трех – четырех значений xk Xk в совокупности "покрывающих" множество Xk

[12].

Таким образом, каждая пара функций полезности q(x) и qk(xk) совместно устанавливает частичный порядок на множестве Xk

в виде Lk lk.

Тогда решением рассматриваемой локальной задачи (3), например если Opt – опе-