Статья: Математические основы методологии построения дискретных пространственно-параметрических моделей рынка жилья

Аналитический центр "МИЭЛЬ-Недвижимость"

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕТОДОЛОГИИ ПОСТРОЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ ПРОСТРАНСТВЕННО-ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ РЫНКА ЖИЛЬЯ

Стерник Г.М.

Методология дискретного анализа рынка недвижимости, развиваемая в работах /1-3 и др./, в интересах практиков-аналитиков описывалась на вербальном уровне, почти без применения символьного изложения. В настоящей работе дается формализованное описание процедуры построения широко применяемых дискретных пространственно-параметрических моделей рынка (с примерами по рынку жилья Москвы) в терминах теории множеств /4/ - аппарата, специально созданного для описания дискретных пространств. Изложение ведется в сопоставлении с подходами и понятиями смежной методологии - регрессионных моделей массовой оценки объектов недвижимости /5, 6/.

Пусть x_i = X - удельная цена i-й квартиры, или цена 1 кв. м, в заданном периоде (в последующем временной параметр опускается);

(1)

- дискретное множество значений удельных цен.

Запись (1) представляет собой модель первичной рыночной информации - исходных данных для построения модели рынка.

В общем случае цена квартиры на рынке зависит от ее характеристик _j:

где S - оператор связи.

Характеристики могут быть непрерывными и дискретными величинами и выражаться:

- числом (значения размера кухни, высоты потолка, декартовых координат местоположения, расстояния до ближайшей станции метро, и т.п.);

- диапазоном чисел (диапазон значений периода строительства, высоты потолков, и т.п.);

- количественным признаком (этажность дома, этаж расположения квартиры, число комнат, число санузлов, число балконов, и т.п.);

- качественным признаком (материал несущих конструкций, материал наружных ограждений, тип санузла, тип планировки, ориентация окон во двор или на проезжую часть, и т.п.);

- бинарным признаком "да-нет" (наличие лифта в доме, наличие телефона в квартире, состояние дома - после реконструкции, капремонта, и т.д.).

Разделим все характеристики по трем классификационным основаниям - качества, местоположения, размера:

T = (_jT) - множество характеристик качества (конструктивно-технические характеристики дома и квартиры, характеристики комфортности проживания, от которых зависят предпочтения покупателей и цена;

M = (_jM) - множество характеристик местоположения дома, от которых зависят предпочтения покупателей и цена;

R = (_jR) - множество характеристик размера квартиры, от которых зависит ее удельная цена.

Тогда

X { x_i (_{j T, jM, jR)} }. (2)

Преобразуем числовые значения характеристик в дискретные, разбив их на диапазоны. Тогда

X = { x_i { _t1, _t2, …}, {_{m1, m2,} … }, {_{r1, r2,} … } } .

В теории регрессионного анализа характеристики объекта именуются "факторами". На основании рыночной информации строится непрерывно-дискретная модель рынка X = F(_i), с помощью статистических критериев определяются уровни значимости факторов. Критериальные значения факторов, по которым принимаются решения, задаются исследователем. Факторы, удовлетворяющие этим критериям, признаются значимыми, остальные - случайными, и регрессионная модель строится как осреднение по факторам, признанным случайными. Обычно при исходных 20-30 факторах значимыми оказываются 5-10. Иногда исследователь переходит к дискретной по каждому отдельному фактору модели, разбивая его диапазон варьирования на поддиапазоны (шаги) по признаку существенного изменения цены на каждом (не обязательно равном) шаге. Общее число диапазонов будет равно сумме чисел диапазонов каждой характеристики-фактора. Например, при 10 характеристиках, значения каждой из которых разбито на три диапазона, образуется матрица из 30 значений. Далее, полное число перестановок значений диапазонов набора характеристик соответствует теоретически возможному числу сочетаний вариантов описания квартир (на практике, при построении регрессионных моделей массовой оценки квартир, оно достигает нескольких сотен).

Аналогичные по сути, но несколько иные по форме процедуры используются и при построении дискретных моделей. Начнем их описание с группы характеристик качества объекта.

Изучение существующих в жилищном фонде и на рынке квартир показывает, что большая часть теоретически возможного числа вариантов являются физически нереализуемыми. Например, сочетание "панель - высота потолков от 3 м", или "свободная планировка - кухня площадью менее 6,0 м", и т.п.

Сгруппируем характеристики качества таким образом, чтобы совокупность диапазонов и/или признаков всех значимых характеристик образовывала физически определимое множество, соответствующее подмножеству элементов множества (1):

{ x_it1 } = {x_{i t} = {_t1 } } ;

{ x_it2 } = {x_{i t} = {_t2 } } ;

…………………………,

или

x_it = x_it1 x_it2 … .

Назовем подмножество {x_itj } физически определимых вариантов сочетания характеристик "типом квартиры" T_i. Тогда

X_T1 = {x_it1 }, …

X_T2 = {x_it2}, …

………………..

Пример типизации (или классификации объектов по качеству) приведен в таблице 1. критерии типизации - заданный набор характеристик качества, значения которых описаны дискретными диапазонами значений и признаками.

Следовательно,

X_T = { X_T1, X_T2, …} - множество подмножеств, объединяющих квартиры одного типа. (3)

Аналогично приводятся к дискретным характеристики (координаты) местоположения:

{ x_im1 } = {x_{i m} = {_m1 } } ;

{ x_im2 } = {x_{i m} = {_m2 } } ;

…………………………,

или

x_im = x_im1 x_im2 … .

Назовем подмножество {_mi } "зоной (районом) местоположения объекта" M_i. Тогда

X_M1 = {x_im1 }, …

X_M2 = {x_im2}, …

………………..

Следовательно,

X_M = { X_M1, X_M2, …} - множество подмножеств, объединяющих объекты одной зоны. (4)

Характеристики размера квартиры чаще всего описываются в (1) дискретным показателем "число комнат". Иногда (например, коттеджи, квартиры свободной планировки) размер задается величиной общей площади, и может быть переведен в дискретный вид назначением диапазонов общей площади объекта. В общем случае

{ x_ir1 } = {x_{i r} = {_r1 } } ;

{ x_ir2 } = {x_i r = {_r2 } } ;

…………………………,

или

x_ir} = x_ir1 x_ir2 … .

Назовем подмножество {_ri} "размером квартиры" R_i . Тогда

X_R1 = {x_ir1 }, …

X_R2 = {x_ir2}, …

………………..

Следовательно, X_M = {X_R1, X_R2, …} - множество подмножеств, объединяющих объекты одного размера. (5)

Наконец, объединение множеств (3)-(5) приводит к выявлению групп объектов, выделенных по признаку сочетания типа, зоны (района) и размера:

X = X_T X_M X_R ; (6)

X_T X_M X_R = ; (7)

X = {{x_T1M1R1}, {x_T2M1R1 }, … } . (8)

Условие (7) означает, что пересечение множеств (3)-(5) есть пустое множество. На практике возможно, что в исходных данных (1) информация о характеристиках квартир неполна, и объект не удается приписать ни одному из выбранных типов, или зон, или размеров. Тогда необходимо их выделить в тип (зону, размер) "прочие" для выполнения условия (7).

Выражение (8) в терминах регрессионных моделей массовой оценки называется "спецификацией" модели рынка. Следующий этап - "калибровка" модели, или получение количественных оценок входящих в модель параметров.

В терминах дискретных пространственно-параметрических моделей эта процедура включает статистическую обработку выборок (8) и определение основных параметров выборки - объема n, среднего x_ср., размаха варьирования x_мин. и x_макс., дисперсии D, погрешности в определении среднего . В результате образуется исходная дискретная пространственно-параметрическая модель рынка

X = {{(n, x_ср., x_мин., x_макс., D_, ) _T1M1R1},

{(n, x_ср., x_мин., x_макс., D_, ) _T2M1R1 }, … }. (9)

Пример записанной в числовом виде модели (9) приведен в табл. 2. Таблица рассчитана для 11 типов квартир по данным о 115 тыс. предложений жилья в Москве в 2003 году с территориальной дифференциацией по 123 муниципальным районам и промежуточным обобщением по 10 административным округам. По условиям задачи в качестве периода осреднения цен принимался год. Для сокращения таблицы приведены данные только о трех типах жилья (из табл. 1) и трех административных округах с осреднением по размерам квартир (числу комнат).

Полученная числовая модель (матрица) включает 1353 малые выборки "1 тип / 1 район", 110 укрупненных выборок "1 тип /все районы АО", 123 укрупненные выборки "все типы / 1 район", 11 объединенных выборок "1 тип / все районы Москвы", 10 объединенных выборок "все типы / все районы АО" и 1 обобщенную выборку "все типы / все районы Москвы".

Следующей операцией при построении дискретной пространственно-параметрической модели рынка (ДППМ) является ее корректировка и оптимизация (в терминах регрессионных моделей массовой оценки - "настройка").

Корректировка начинается с проверки объема выборок в каждой клетке матрицы (табл. 2).

На практике возможно отсутствие объектов какого-либо типа в жилищном фонде и на рынке данного района. В этом случае из матрицы исключается соответствующая строка.

Возможны случаи слишком малого объема выборки данного типа в конкретном районе (обоснование минимального требуемого объема приведено в работах / /. В этом случае данная выборка подлежит объединению с выборкой территориально смежного района, параметры объединенной выборки пересчитываются.

Оптимизация модели начинается с проверки размаха выборок и их дисперсий. Условие оптимизации - минимизация размаха каждой выборки при ориентировочном равенстве коэффициентов варьирования н:

(x_макс. - x_мин.) > мин.;

н _i = v D_i / x_ср.i ? const . (10)

Уменьшение размаха выборки можно получить за счет ее разделения на две путем введения дополнительного признака или разбиения диапазона какого-либо признака. Например, если выборка квартир в пятиэтажных панельных домах имеет слишком большой размах варьирования (значительно отличающийся от выборок квартир других типов), то рекомендуется разделить ее на два подтипа, включающие квартиры на первом/последнем и крайних этажах. Другой пример: разделение совокупности квартир в пятиэтажных панельных домах одного района на квартиры в сериях домов, объявленных к сносу (что может повысить их привлекательность и цену) и в несносимых сериях.

Аналогично могут быть разбиты выборки по признаку местоположения: в заданных границах района выделяются 2-3 зоны с отличающимся уровнем цен, и вместо одной образуется 2-3 выборки квартир одного типа с изменившимися средними и уменьшимся размахом варьирования.

Следующая процедура оптимизации модели имеет обратный характер - она направлена на проверку целесообразности объединения выборок. Для этого производится попарная проверка значимости различия выборок по типам, по размерам, по смежным районам. Она включает проверку различия дисперсий (по критерию Фишера F_p) и средних (по критерию Стьюдента t_p) при заданных критериальных значениях уровня значимости р, выбираемых исследователем. Эта процедура соответствует аналогичной процедуре проверки значимости факторов в терминах регрессионного моделирования.