Материал: Математический анализ шпаргалка

Ряд гармонический и другие

1

Гармоническим рядом называют сумму бесконечного количества членов обратных последовательным числам натурального ряда

Гармонический ряд является исторически первым примером численного ряда, члены которого неограниченно убывают и который, несмотря на это, расходится, т.е. для которого

Расходимость его была доказана Лейбницем в 1678 г. Название ряда объясняется тем, что каждые три последовательных его члена, начиная со второго, un-1, un, un+1, удовлетворяют одному и тому же правилу: средний член связан с крайними равенством un = 2un-1un+1

un-1 + un+1 .

Подобная зависимость чисел называют гармоническим делением или золотым сечением.

В курсе математического анализа гармонический ряд является основным и играет не менее значительную роль, чем убывающая геометрическая последовательность.

45. Признак Даламбера

При́знак д’Аламбе́ра (или Признак Даламбера) — признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном д’Аламбером в 1768 г.Если для числового ряда

существует такое число q, 0 < q < 1, что начиная с некоторого номера выполняется неравенство то данный ряд абсолютно сходится; если же, начиная с некоторого номера то ряд расходится.

Признак сходимости д’Аламбера в предельной форме

Если существует предел

то рассматриваемый ряд абсолютно сходится если ρ < 1, а если ρ > 1 — расходится .

Замечание. Если ρ = 1, то признак д′Аламбера не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

46. Признак сравнения

пусть даны два знакоположительных ряда:

и

Тогда, если, начиная с некоторого места (n > N), выполняется неравенство:

,то из сходимости ряда следует сходимость .

Или же, если ряд расходится, то расходится и .

Также признак сравнения можно сформулировать в более удобной форме — в виде отношений.

Если для членов строго положительных рядов и , начиная с некоторого места (n > N), выполняется неравенство: то из сходимости ряда следует сходимость , а из расходимости следует расходимость

47. Лейбница признак

сходимости знакочередующегося ряда: если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают и стремятся к нулю то ряд сходится; при этом остаток ряда имеет знак своего первого члена и меньше его по абсолютной величин.

48. Степенной ряд. Область сходимости степенного ряда

Степенной ряд с одной переменной — это формальное алгебраическое выражение вида: в котором коэффициенты an берутся из некоторого кольца R.

Сходимость степенных рядов

Из формального степенного ряда с вещественными или комплексными коэффициентами путем приписывания формальной переменной X какого-нибудь значения в поле вещественных или комплексных чисел можно получить числовой ряд. Числовой ряд считается сходящимся (суммируемым), если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов, и называется абсолютно сходящимся, если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов, взятых по модулю (по норме).

Признаки сходимости

Для степенных рядов есть несколько теорем, описывающих условия и характер их сходимости.

Первая теорема Абеля: Пусть ряд сходится в точке x0. Тогда этот ряд сходится абсолютно в круге | x | < | x0 | и равномерно по x на любом компактном подмножестве этого круга.

Обращая эту теорему, получаем, что если степенной ряд расходится при x = x0, он расходится при всех x, таких что | x | > | x0 | . Из первой теоремы Абеля также следует, что существует такой радиус круга R (возможно, нулевой или бесконечный), что при | x | < R ряд сходится абсолютно (и равномерно по x на компактных подмножествах круга | x | < R), а при | x | > R — расходится. Это значение R называется радиусом сходимости ряда, а круг | x | < R — кругом сходимости.

49. 50.51.52.Ряды Тейлора и Маклорена

Если функция f (x) имеет непрерывные производные вплоть до (n+1)-го порядка, то ее можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора:

где Rn − остаточный член в форме Лагранжа определяется выражением

Если приведенное разложение сходится в некотором интервале x, т.е. то оно называется рядом Тейлора, представляющим разложение функции f (x) в точке a.

Если a = 0, то такое разложение называется рядом Маклорена:

Разложение некоторых функций в ряд Маклорена

53. Основные понятия функции нескольких переменных

Определение 1. Функцией n переменных u (x1, x2, … , xn) называется отображение u: Rn → R , т.е. любое правило, которое каждой точке x = (x1, x2, … , xn) О D М Rn ставит в соответствие действительное число u О R .

Функцию n переменных записывают так: u = f(x1, x2, … , xn) .

Если каждой паре (x,y) значений двух независимых друг от друга, переменных величин x и y, из некоторой области их изменения D, соответствует определенное значение величины z, то говорят, что z функция двух независимых переменных x и y, определенная в области D.

Обычно функция нескольких переменных задается явным аналитическим способом. Например: z=3x+5y2,u=xy+z2 и т.д.

Встречается также и неявное задание таких функций, например: z-2x-sinxy=0.

Упорядоченная пара чисел (x,y) может рассматриваться как точка на плоскости, т.е. Z есть функция точки (x,y)

54. Производные и дифференциалы функций нескольких переменныхОпределение. Пусть в некоторой области задана функция z = f(x, y). Возьмем произвольную точку М(х, у) и зададим приращение х к переменной х. Тогда величина _xz = f( x + x, y) – f(x, y) называется частным приращением функции по х.Можно записать Тогда  называется частной производной функции z = f(x, y) по х.Обозначение: Аналогично определяется частная производная функции по у.  

55. Частные производные

.

Рассморим функцию z=f(x,y), р(х,у)- рассматриваемая точка.

Дадим аргументу х приращение х; х+х, получим точку р₁(х+х,у), вычислим разность значений функции в точке р:

_хz = f(p1)-f(p) = f(x+x,y) - f(x,y)  частное приращение функции соответствующее приращению аргумента х.

Опр. Частное производной функции z=f(x,y) по переменной х называется предел отношения частного приращения этой функции по переменной х к этому приращению, когда последнее стремится к нулю.

z = Lim _xz

x x0 x

 z = Lim f(x+x,y) - f(x,y)

x x0 x

Аналогично определяем частное производной по переменной у.

Нахождение частных производных.

При определении частных производных каждый раз изменяется только одна переменная, остальные переменные рассматриваются как постоянные. В результате каждый раз мы рассматриваем функцию только одной переменной и частная производной совпадает с обычной производной этой функции одной переменной. Отсюда правило нахождения частных производных: частноя производная по рассматриваемой переменной ищется как обычная производнаяфункции одной этой переменной, остальные переменные расстатриваются как постоянные величины. При этом оказываются справедливыми все формулы дифференцирования функции одной переменной (производноя суммы, произведения, частного).