Материал: Математический анализ шпаргалка

КОЛЬЦО

34.Несобственные интегралы.

35. Дифференциальные уравнения. Основные понятия.

Дифференциа́льное уравне́ние — уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию, ее производные и независимые переменные; однако не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением. Например,   не является дифференциальным уравнением. Стоит также отметить, что дифференциальное уравнение может вообще не содержать неизвестную функцию, некоторые её производные и свободные переменные, но обязано содержать хотя бы одну из производных.

Порядок, или степень дифференциального уравнения — наибольший порядок производных, входящих в него.

Решением (интегралом) дифференциального уравнения порядка n называется функция y(x), имеющая на некотором интервале (a, b) производные y'(x),y''(x),...,yⁿ(x) до порядкаn включительно и удовлетворяющая этому уравнению. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием. Вопрос об интегрировании дифференциального уравнения считается решенным, если нахождение неизвестной функции удается привести к квадратуре, независимо от того, выражается ли полученный интеграл в конечном виде или нет.

Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные (ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных. Существуют также стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), включающие случайные процессы.

Первоначально дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых участвовали координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функциивремени.

обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) — это уравнения вида

 или  ,

где   — неизвестная функция (возможно, вектор-функция; в таком случае часто говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от переменной времени  , штрих означает дифференцирование по  . Число   называется порядком дифференциального уравнения.

Дифференциальные уравнения в частных производных (УРЧП) — это уравнения, содержащие неизвестные функции от нескольких переменных и их частные производные. Общий вид таких уравнений можно представить в виде:

36. 39.40.Однородные линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

  Линейное   уравнение  имеет вид:

 а(х)*у^/ + b(х)*y + c(x) = 0,                                           (1.9)

где а(х), b(x), c(x) - заданные функции.

Если а(х) ≠ 0, то это  уравнение  можно записать в приведенном виде:

 у^/ + Р(х)у = f(x),                                                       (1.10)

где     ,     ,тогда f(x) - свободный член.

             Пусть Р(х) и f(x) в (1.10) непрерывны на (a,b).

Будем искать решение в виде y = u*v, где u-ненулевое решение соответствующего  однородного   уравнения 

u^/ + P(x)u = 0,                                                           (1.11)

a v - неизвестная функция. Тогда

y^/ =u^/v+v^/u.                                           (1.12)

Подставим в (1.10) эти выражения. Получим

 u^/v + v^/u + P(x)uv = f(x)                                          (1.13)

 v  (u^/+P(x) u) + uv^/  = f(x)

Учитывая, что имеет место (1.11), получим

 uv^/ = f(x).                                                                     (1.14)

Следует u подобрать так, чтобы коэффициент при v был равен нулю.

Из (1.11) и (1.14) находим u и v, подставляем в y = u*v, причем u есть конкретное решение,  отличное от нуля.

38. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Пусть y(x) — некоторая функция, y'(x) — ее производная. Для удобства будем записывать производную виде  , имеющем смысл отношения бесконечно малых приращений — дифференциалов. Дифференциал dx — приращение значения переменной в окрестности x, стремящееся к нулю. Дифференциал функции dy — малое приращение функции, dy = f(x + dx) − f(x) = y'(x)dx. Пусть f(x) и g(y) — некоторые функции от x и y. Рассмотрим уравнение

.

Уравнение такого вида называется обыкновенным дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Умножим его на  :

.

Последнее равенство означает, что малые приращения левой и правой частей равны. Поэтому их суммы также равны. Предположим что при x = x₀ y = y₀ и возьмем интегралы от левой и правой частей. Пределы интегрирования — от y₀ до y для левой части и от x₀ для x для правой части уравнения:

.

Решая получившееся в результате интегрирования алгебраическое уравнение, мы можем выразить y(x).

Значения x₀ и y₀ называются начальными условиями. В случае других начальных условий решение уравнения будет отличаться на постоянную. Поэтому, если начальные условия не даны, можно взять первообразные левой и правой частей и прибавить к ним константу. Используя неопределенный интеграл — обозначение множества первообразных —  , где F(x) — первообразная f(x), C — произвольная постоянная, запишем это в виде

.

Следует отметить, что у дифференциального уравнения с разделяющимися переменными могут существовать так называемые нулевые решения — постоянные y, удовлетворяющие уравнению g(y) = 0. При них равны нулю как правая, так и левая части дифференциального уравнения (поскольку производная константы равна нулю).

41.42. Дифференциальные уравнения второго порядка

Дифференциальное уравнение второго порядка, разрешенное относительно старшей производной имеет следующий вид:

Общее решение

Из систем (87) можно определить постоянные с1и с2. и тем самым найти частное решение

удовлетворяющее уравнению (85) и заданным начальным условиям Заметим, что при решении конкретных задач, как правило, наряду с дифференциальным уравнением участвуют те или иные начальные условия (88), так как решение таких задач должно быть однозначным.

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида коэффициенты которого p(x) и q(x)– непрерывные функции

Два решения y1 иy2 называются линейно независимыми, если можно подобрать постоянные числа b1 и b2 , не равные одновременно нулю, такие, что линейная комбинация этих функций тождественно равна нулю, т.е. В противном случае, если таких чисел подобрать нельзя, решения y1 и y2 называются линейно независимыми, т.е. если функции y1 и y2 линейно независимые и имеет место тождество (90), то

43.44. Понятие числового ряда, сходимость

Числовой ряд – это сумма членов числовой последовательности вида .

В качестве примера числового ряда можно привести сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем q = -0.5:

Необходимое условие сходимости ряда.

Если числовой ряд сходится, то предел его k-ого члена равен нулю: .

При исследовании любого числового ряда на сходимость в первую очередь следует проверять выполнение необходимого условия сходимости. Невыполнение этого условия указывает на расходимость числового ряда, то есть, если то ряд расходится.

С другой стороны нужно понимать, что это условие не является достаточным. То есть, выполнение равенства не говорит о сходимости числового ряда . К примеру, для гармонического ряда необходимое условие сходимости выполняется , а ряд расходится.