Материал: Математический анализ шпаргалка

10. Некоторые признаки существования предела функции

Теорема (о промежуточной функции).

Пусть в некоторой окрестности О (а) точки а функция f(x) заключена между двумя функциями j (x) и y (x), имеющими одинаковый предел А при x ® a, то есть j (x) £ f(x) £ y(x) и

Тогда функция f(x) имеет тот же предел:

Функция f (x) называется возрастающей на данном множестве X, если f(x1)<f(x2) для x1< x2 (x1, x2 Î X).

Функция f(x) называется убывающей на множестве X, если f() > f(x2) для x1< x2 (x1, x2 Î X).

Возрастающая или убывающая функция называется монотонной на данном множестве X.

Если f() £ f() для x1< x2, то f(x) называют неубывающей, а если f(x1) ³ f(x2) для x1< x2 – не возрастающей. И в этом случае функцию называют монотонной.

2. Монотонная и ограниченная последовательность имеет предел.

11. Замечательные пределы

Первый замечательный предел:

Второй замечательный предел:

12.Понятие непрерывности функции.Свойства непрерывных функций. Непрерывность функции.

Пусть задана функция z=f(x,y), р(х,у)-текущая точка, р₀(х₀,у₀)- рассматриваемая точка.

Опр. Функция z=f(x,y) называется непрерывной в т. р₀, если выполняются 3 условия:

1)функция определена в этой точке. f(р₀) = f(x,y);

2)ф-я имеет предел в этой точке.

Lim f(р) = 

pp₀

3)Предел равен значению функции в этой точке:  = f(x₀,y₀);

Lim f(x,y) = f(x₀,y₀);

pp₀

Если хотя бы 1 из условий непрерывности нарушается, то точка р называется точкой разрыва. Для функций 2х переменных могут существовать отдельные точки разрыва и целые линии разрыва.

Понятие предела и непрерывности для функций большего числа переменных определяется аналогично.

Функцию трех переменных невозможно изобразить графически, в отличие от функции 2х переменных.

Для функции 3х переменных могут существовать точки разрыва, линии и поверхности разрыва.

13. Задачи приводящие к понятию производной.

1) Задачи, приводящие к понятию производной.

1. Пусть материальная точка m движется вдоль направления прямой S, по закону S(t), в момент времени точка находилась в , через время (т.е. в момент времени ) точка переместилась , мгновенной скоростью движения в момент равный , назовём .

2. Пусть имеется плоская кривая l,

Определение: предельное положение секущей при , называется касательной к l в точке , т.е. если между секущей и некоторой кривой стремится к определённому пределу , при расстоянии между , то прямую проходящую через называют касательной.

Задача: Пусть кривая l задаётся функцией y=f(x), допустим, сто в точке к ней существует касательная, причем наклонная(т.е. составляет с положительным направлением оси угол ) ; , -угол наклона касательной, значит

Итак, в разных задачах пришли к решению однотипных задач.

2) Понятия.

Пусть y=f(x),

Определение: производной функции f(x) в точке наз. (вводя ) . формула(1)- физический смысл производной, формула (2)- геометрический.

Производные:

1)

2) Функция имеет смысл. Берём фиксируем , ;

3) ; ;

4) , , ;

5) ; ; ;

14. Определение производной зависимость между непрерывностью и диффериенциромостью функции Понятие производной

Рассмотрим задачу, которая приводит к понятию производной. Пусть функция u(t) выражает количество произведенной продукции за время t. Найдем производительность труда в момент t₀. За период от t₀ до t₀+Δ t количество продукции изменится от u(t₀) до u₀+Δ u = u(t₀+Δ t). Тогда средняя производительность труда за этот период z = Δ u/Δ t, поэтому производительность труда в момент t₀

z = lim_{ t 0} u/ t.

Определение 1 (производная). Производной функции y = f(x) в фиксированной точке x называется предел

lim_{ x 0} y/ x

при условии существования этого предела.

Производная обозначается следующим образом f'(x) или y'.

Теорема 2 (дифференцируемость и непрерывность). Если функция дифференцируема в точке x, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Так как функция дифференцируема в точке x, то то ее приращение представимо в виде (1), из которого следует, что lim_{ x 0} y = 0, что означает непрерывность функции в данной точке.

Заметим, что из непрерывности в данной точке не следует дифференцируемость в этой точке. Это видно из рассмотренного выше примера 4.

Производная непрерывной функции не обязательно непрерывна. Если функция имеет непрерывную производную на некотором множестве X, то функция называется гладкой на этом множестве. Если производная допускает конечное число точек разрыва (причем первого рода), то такая функция называется кусочно гладкой

15..Основные правила дифференцирования. Производные элементарных функций. Правила дифференцирования

Приведем основные правила для нахождения производной:

1. Производная постоянной равна нулю, то есть c' = 0.

2. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций, то есть

u(x) v(x))' = u'(x) v'(x).

3. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, то есть

(u(x)v(x))' = u'(x)v(x)+u(x)v'(x).

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

(cu(x))' = cu'(x).

4. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле

(u(x)/v(x))' = (u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/v²(x)

при условии, что v(x)≠ 0.

.Производные обратной и сложной функций.

Пусть  -- непрерывная функция, монотонная на интервале . Тогда, как мы доказали в гл. 3, функция имеет обратную функцию , которая также является непрерывной и монотонной функцией на интервале , в который функция переводит интервал . Пусть  -- фиксированная точка и  -- точка, ей соответствующая. Тогда .

16.Правило Лопиталя

Правило Бернулли[1]-Лопита́ля — метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида 0 / 0 и . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Условия:

или бесконенчн.;

и дифференцируемы в проколотой окрестности а ;

в проколотой окрестности а;

существует

тогда существует

Пределы также могут быть односторонними.