Материал: Математика. программа и контрольные задания к 1-й части курса математики для студентов специальности «Наземные транспортно-технологические средства». Акчурина Л.В., Глазкова М.Ю

Министерство образования и науки Российской федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Воронежский государственный архитектурно-строительный университет»

1096

Кафедра высшей математики

Математика

Программа и контрольные задания №1, 2

к 1-й части (1 семестр) курса математики для

студентов специальности

«Наземные транспортно-технологические средства»

В оронеж 2015

УДК 51:625.08(07)

ББК 22.1:38.6−5я73

Составители

Л.В. Акчурина, Глазкова М.Ю., Н.А. Сапожкова, Некрасова Н.Н.

Математика: программа и контрольные задания № 1,2 к 1-й части (1семестр) курса математика для студентов заочного обучения специальности «Наземные транспортно-технологические средства». / Воронежский ГАСУ, сост.: Л.В. Акчурина, М.Ю. Глазкова, Н.А. Сапожкова, Н.Н. Некрасова. - Воронеж, 2015. – 31 с.

Предназначены для выработки студентами практических навыков решения задач по аналитической геометрии на плоскости и в пространстве, освоения техники дифференцирования и применения производной при исследовании функций.

Приведены 20 вариантов контрольных заданий.

Предназначены для студентов 1-го курса заочного обучения специальности «НТТС».

Библиогр.: 6 назв.

УДК 51:625.08(07)

ББК 22.1:38.6−5я73

Печатается по решению учебно-методического совета

Воронежского ГАСУ

Рецензент – А.К. Тарханов, к. ф.-м. н.,

д оцент кафедры физики

Введение

Математические методы играют важную роль в современной науке, технике и экономике. Возможность успешного применения математики при решении конкретных задач особенно усилилась благодаря всеобщей компьютеризации.

Курс математики является основой естественнонаучного образования бакалавра. Поэтому для успешного изучения общетеоретических и специальных дисциплин необходимо владеть навыками применения современного математического инструментария для решения задач.

Изучение математики позволит будущему специалисту приобрести базовые навыки, расширить кругозор, повысить уровень мышления и общую культуру, что необходимо для успешной профессиональной деятельности.

Общие рекомендации

В предлагаемом издании изложена программа 1-й части курса математики, который изучается студентами-заочниками в первом семестре. Здесь приведены задачи для выполнения контрольных работ № 1, 2 по математике. Первая контрольная работа посвящена линейной алгебре, векторному анализу, аналитической геометрии на плоскости и в пространстве и введению в математический анализ. Вторая контрольная работа – дифференциальному исчислению функции одной переменных.

Материал следует изучать по вопросам, указанным в программе, там же можно найти указания на страницы учебников и номера задач, которые мы рекомендуем рассмотреть.

К экзамену необходимо выполнить контрольные работы №1, 2 и получить по ним зачет. Каждая контрольная работа выполняется в отдельной тетради. Оформление должно быть аккуратным, записи четкими, решение должно сопровождаться подробными пояснениями с необходимыми ссылками на теорию.

Приступать к выполнению контрольной работы следует после изучения необходимого теоретического материала и разбора решения нескольких аналогичных задач с помощью приведенных ниже учебников и методических указаний.

Список рекомендуемой литературы

1. Беклемишев, Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - 12-е изд. /Д.В. Беклемишев. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. – 312 с.

2. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление [текст]: учеб. пособие; Т.1 /Н.С. Пискунов.– М.: Интеграл–Пресс, 2008. – 416 с.

3. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1: Учеб. пособие для вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – 7-е изд., испр. – М.: ООО «Издательство Оникс»: ООО Издательство «Мир и образование», 2009. – 368 с.

4. Кущев, А.Б. Лекции по аналитической геометрии / А.Б. Кущев. – Учебное пособие, из-во ВГАСУ, 2007. – 126 с.

5. Седаев, А.А. Некрасова Н.Н. Элементы линейной алгебры, аналитическая геометрия и введение в математический анализ/ А.А. Седаев , Н.Н. Некрасова - Учебное пособие, из-во ВГАСУ, 2007. – 184 с.

6. Интегральное исчисление: методические указания и задания по высшей математике для студентов 2-го курса строительных специальностей заочного факультета ВГАСУ/ Воронежский гос. арх.-строит. ун.-т; сост.: С.М. Алейников, Л.В. Акчурина, В.С. Муштенко, С.А. Шабров.

– Воронеж, 2008. – 82 с.

Указания по обращению к рекомендуемой литературе даны в тексте рабочей программы. Номера источников из приведенного выше списка пишутся в квадратных скобках. Например [I, гл. 2, §2] означает: учебник Беклемишева Д.В., гл. II, §2.

Вопросы программы к контрольной работе № 1

Раздел I. Векторная и линейная алгебры

1. Система линейных уравнений с неизвестными. Понятие решения системы, совместные и несовместные системы.

2. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса, условие их несовместности.

3. Матрица, ее строки, столбцы и размеры. Основная и расширенная матрицы системы линейных уравнений.

4. Определители 2-го и 3-го порядка. Свойства определителей. Минор и алгебраическое дополнение элемента определителя. Вычисление определителя любого порядка разложением по строке или столбцу.

5. Формулы Крамера. Условие несовместности системы.

6. Вычисление обратной матрицы.

7. Решение системы матричным способом (метод обратной матрицы).

8. Векторы. Алгебраические операции над ними.

9. Понятие базиса, координаты разложения вектора по базису. Действия над векторами в координатой форме.

10. Радиус - вектор точки. Координаты радиуса - вектора в ортонормированном базисе из единичных векторов , направленных по осям координат. Вычисление координат вектора через координаты его начала и конца.

11. Вычисление длины вектора и расстояния между точками в декартовой системе координат. Формулы для координат точки, делящей отрезок в данном отношении.

12. Скалярное произведение векторов, его физический смысл и свойства.

13. Вычисление скалярного произведения через координаты сомножителей в базисе . Нахождение угла между векторами.

14. Векторное произведение, его механический смысл и свойства.

15. Вычисление векторного произведения через координаты сомножителей в базисе . Нахождение площади параллелограмма и треугольника через координаты их вершин.

16. Смешанное произведение трех векторов, его геометрический смысл и свойства.

17. Вычисление смешанного произведения через координаты сомножителей. Вычисление объема пирамиды.

Литература: [I, гл. I, §1, §2, гл.V, §5]; [3, гл. II, §1-3, гл. IV, §1, §2]; [4, гл. I, II]; [5, гл I, §1, §3, гл. II].

Раздел II. Аналитическая геометрия

1. Понятие об уравнении линии на координатной плоскости. Геометрическое изображение множества решений уравнений на координатной плоскости.

2. Уравнение прямой в общем виде. Построение прямой и нахождение вектора, перпендикулярного к прямой, по ее уравнению.

3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом, геометрический смысл его коэффициентов.

4. Вычисление угла между прямыми через их угловые коэффициенты. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

5. Уравнение прямой с данным угловым коэффициентом , проходящей через точку .

6. Уравнение прямой, проходящей через две точки и .

7. Вычисление расстояния от точки до прямой .

8. Полярная система координат на плоскости. Связь между полярными и декартовыми координатами точки. Примеры задания кривых уравнением в полярной системе координат.

9. Уравнение окружности радиуса с центром в точке .

10. Эллипс, его фокусы, каноническое уравнение эллипса. Эксцентриситет эллипса и окружности.

11. Гипербола, её фокусы, каноническое уравнение. Эксцентриситет гиперболы.

12. Асимптоты и построение гиперболы.

13. Парабола, её фокус и директриса. Каноническое уравнение параболы.

14. Преобразование координат точки при параллельном переносе системы координат.

15. Кривые второго порядка, приведение уравнений этих кривых к каноническому виду.

16. Параметрическое задание кривой.

17. Уравнение поверхности. Цилиндрические поверхности.

18. Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно данному вектору нормали . Уравнение плоскости в общем виде.

19. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки , , .

20. Расстояние от точки до плоскости . Задание прямой в пространстве в общем виде. Нахождение координат пересечения прямой и плоскости через их уравнения.

21. Каноническое и параметрическое уравнения прямой.

22. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки и .

23. Уравнение сферы радиуса с центром в точке .

24. Эллипсоид, его каноническое уравнение.

25. Однополостный и двуполостный гиперболоиды, их канонические уравнения.

26. Параболоиды, их канонические уравнения.

Литература: [I, гл. II, §1-3]; [3, гл. III, §1, §2]; [4, гл. III, IV, V, IV]; [5, гл III, IV].

Раздел III. Введение в математический анализ

1. Понятие функции, её область определения и область значений. График функции. Способы задания функции: а) аналитический (явный, неявный, параметрический); б) табличный; в) графический.

2. Понятие сложной функция.

3. Понятие обратной функции, условие ее существования.

4. Основные элементарные функции, их свойства и графики.

5. Предел переменной величины. Понятие о пределе функции в точке .

6. Основные свойства пределов: предел суммы, произведения и частного переменных величин, имеющих пределы.

7. Понятие неопределенности. Раскрытие неопределенности типа или для рациональной дроби.

8. Первый замечательный предел и его следствия.

9. Второй замечательный предел и его следствия.

10. Определение непрерывности функции в точке, свойства непрерывных функций.

11. Определение непрерывности на языке односторонних пределов. Точки разрыва и их классификация.

12. Определение непрерывности функции на интервале и на отрезке. Свойства непрерывных на отрезке функций.

Литература: [2, гл I, II ]; [3, гл. IV]; [5, гл. V].

Вопросы программы к контрольной №2

Раздел IV. Дифференциальное исчисление функции одной переменной и его применение

1. Определение производной функции в точке, ее геометрический и физический смысл.

2. Правила дифференцирования: производная суммы и разности функций; производная произведения функций; производная частного функций; производная произведения функции на число; правило нахождения производной сложной функции.

3. Таблица производных основных элементарных функций.

4. Производные высших порядков.

5. Уравнение касательной и нормали к графику кривой на плоскости в заданной точке.

6. Дифференциал функции в точке, его геометрический смысл и связь с приращением функции. Формула вычисления дифференциала функции через ее производную и дифференциал (приращение) аргумента. Символическая запись производной в виде отношения дифференциалов. Применение дифференциала для приближенного вычисления значений функции.

7. Формула Лагранжа (формула конечных приращений).

8. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей типа и .

9. Возрастание и убывание функции на интервале, связь со знаком первой производной.

10. Точки максимума и минимума (точки экстремума). Необходимое и достаточное условия экстремума функции. Критические точки функции.

11. Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции.

12. Выпуклость и вогнутость графика функции, связь со знаком второй производной. Точки перегиба, их необходимое и достаточное условия.

13. Понятие асимптоты графика функции. Вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты, их нахождение.

14. Общая схема полного исследования функции, заданной в явном виде.