Материал: Мет выч методичка
Многочлен Лагранжа
Будем строить интерполяционный многочлен, единый для всего
отрезка
[
x
0
, x
n
]
, в виде линейной комбинации многочленов степени
n
:
L
(
x
) =
y
0
l
0
(
x
) +
y
1
l
1
(
x
) +
...
+
y
n
l
n
(
x
)
(33)
так, чтобы многочлены
l
i
(
x
)
обращались в нуль во всех узлах ин-
терполяции, кроме
i
- го, где он должен равняться единице. Этим
условиям при
i
= 0
отвечает многочлен вида:
l
0
(
x
) =
(
x
−
x
1
)(
x
−
x
2
)(
x
−
x
3
)
...
(
x
−
x
n
)
(
x
0
−
x
1
)(
x
0
−
x
2
)(
x
0
−
x
3
)
...
(
x
0
−
x
n
)
(34)
31
Аналогично,
l
1
(
x
) =
(
x
−
x
0
)(
x
−
x
2
)(
x
−
x
3
)
...
(
x
−
x
n
)
(
x
1
−
x
0
)(
x
1
−
x
2
)(
x
1
−
x
3
)
...
(
x
1
−
x
n
)
l
2
(
x
) =
(
x
−
x
0
)(
x
−
x
1
)(
x
−
x
3
)
...
(
x
−
x
n
)
(
x
2
−
x
0
)(
x
2
−
x
1
)(
x
2
−
x
3
)
...
(
x
2
−
x
n
)
...
(35)
l
i
(
x
) =
(
x
−
x
0
)
...
(
x
−
x
i
−
1
)(
x
−
x
i
+1
)
...
(
x
−
x
n
)
(
x
i
−
x
0
)
...
(
x
i
−
x
i
−
1
)(
x
i
−
x
i
+1
)
...
(
x
i
−
x
n
)
...
l
n
(
x
) =
(
x
−
x
0
)(
x
−
x
1
)(
x
−
x
2
)
...
(
x
−
x
n
−
1
)
(
x
n
−
x
0
)(
x
n
−
x
1
)(
x
n
−
x
2
)
...
(
x
n
−
x
n
−
1
)
Подставляя (34),(35) в (33) получаем интерполяционный много-
член Лагранжа:
L
(
x
) =
n
X
i
=0
y
i
(
x
−
x
0
)
...
(
x
−
x
i
−
1
)(
x
−
x
i
+1
)
...
(
x
−
x
n
)
(
x
i
−
x
0
)
...
(
x
i
−
x
i
−
1
)(
x
i
−
x
i
+1
)
...
(
x
i
−
x
n
)
(36)
32
Единственность найденного решения следует из единственности ре-
шения системы (29). Если положить
n
= 1
в (36), то получим рас-
смотренный ранее случай линейной интерполяции, при
n
= 2
– слу-
чай квадратичной интерполяции:
L
(
x
) =
(
x
−
x
1
)(
x
−
x
2
)
(
x
0
−
x
1
)(
x
0
−
x
2
)
y
0
+
(
x
−
x
0
)(
x
−
x
2
)
(
x
1
−
x
0
)(
x
1
−
x
2
)
y
1
+
+
(
x
−
x
0
)(
x
−
x
1
)
(
x
2
−
x
0
)(
x
2
−
x
1
)
y
2
(37)
Упражнение. Проверить, что из (36) при
n
= 1
следует случай
линейной интерполяции.
Многочлен Ньютона
При построении интерполяционного многочлена Лагранжа не на-
кладывалось никакого требования на распределение узлов интерпо-
ляции. Рассмотрим случай равноотстоящих по оси
x
узлов интерпо-
33
ляции. Введем
h
=
x
i
−
x
i
−
1
– шаг интерполяции,
h
=
const
.
Конечные разности
Разности первого порядка (первые разности)
∆
y
0
=
y
1
−
y
0
=
f
(
x
0
+
h
)
−
f
(
x
0
)
∆
y
1
=
y
2
−
y
1
=
f
(
x
0
+ 2
h
)
−
f
(
x
0
+
h
)
...
∆
y
n
−
1
=
y
n
−
y
n
−
1
=
f
(
x
0
+
nh
)
−
f
(
x
0
+ (
n
−
1)
h
)
Разности второго порядка (вторые разности)
∆
2
y
0
= ∆
y
1
−
∆
y
0
∆
2
y
1
= ∆
y
2
−
∆
y
1
...
Разности порядка
k
∆
k
y
i
= ∆
k
−
1
y
i
+1
−
∆
k
−
1
y
i
,
i
= 0
,
1
, ..., n
−
1
34
Конечные разности выражаются через значения функции
∆
2
y
0
= ∆
y
1
−
∆
y
0
= (
y
2
−
y
1
)
−
(
y
1
−
y
0
) =
y
2
−
2
y
1
+
y
0
∆
3
y
0
= ∆
2
y
1
−
∆
2
y
0
=
...
=
y
3
−
3
y
2
+ 3
y
1
−
y
0
В общем случае
∆
k
y
i
=
k
X
j
=0
(
−
1)
j
C
j
k
y
i
+
k
−
j
(38)
где
C
j
k
=
k
!
j
!(
k
−
j
)!
Упражнение. Используя метод математической индукции дока-
зать формулу (38).
35