В общем случае, входящие в её состав параметры не линейны, зависят от векторов потоков и потенциалов , и определяются следующими выражениями: электрический тепловой радиоэлектронный иерархический
где бi,i, вi,i - суммы реологических параметров диссипативных, консервативных потенциальных ветвей, подключенных к узлу i = 1…n соответственно; гi,i - сумма обратных значений реологических параметров консервативных потоковых ветвей, подключенных к узлу i; ?i - сумма потоков ветвей содержащих активные потоковые компоненты и подключенных к узлу i.
Решение приведённой выше системы нелинейных аглебро-интегро-дифференциальных уравнений в каждый момент времени фe+1 сводится к решению системы нелинейных алгебраических уравнений (СНАУ). Для этого консервативные потоковые и потенциальные ветви заменяются параллельно включенными активным потоковым и пассивным диссипативным компонентами. Параметры этих компонентов для каждого дискретного момента времени вычисляются с помощью численных методов решения дифференциальных уравнений. Например, при использовании метода обратного дифференцирования при постоянном шаге по времени применяются следующие формулы:
? для консервативного потенциального компонента:
для консервативного потокового компонента:
где h - постоянный шаг по времени; k0 … kp - коэффициенты; p - порядок метода.
Перепишем (1) в матричном виде в базисе узловых потенциалов для произвольного момента времени ф:
где [An,n] - матрица узловых проводимостей; [Xn] - искомый вектор потенциалов узлов; [n] - вектор узловых потоков.
Нелинейность (5) требует применения для её расчёта численных итерационных методов решения, таких как метод простых итераций, метод Ньютона-Рафсона и т.п. [1, 4]. Данные методы широко известны и не требуют специального рассмотрения в работе.
Так как, топологические подмодели электрических, тепловых, гидроаэродинамических и механических процессов не имеют общих узлов кроме базового, то составляющие (5) имеют следующие структуры:
,
.
Здесь индексы Э, ГА, Т, М обозначают, что соответствующие подматрицы и подвектора описывают электрические, гидроаэродинамические, тепловые и механические процессы в РЭА.
Особенности структуры матричного представления, показанные в (3.2.6) позволяют получить решения (5) путем решения четырёх матриц:
,
,
,
.
Взаимная зависимость параметров матриц и векторов, входящих в (7) определяется существенными физическими связями, отраженными в структуре комплексной модели электрических, гидроаэродинамических, тепловых и механических процессов в РЭА. Эти связи, определённость входных сигналов, внешних воздействий, начальных условий и приближений позволяют предложить последовательность расчёта систем уравнений в общем цикле решения (5).
Как можно видеть, подмодели электрических и тепловых, и тепловых и гидроаэродинамических процессов объединены взаимными связями, а подмодель механических процессов односторонне связана с тепловой (имеет температурозависимые параметры). Поэтому решение подмоделей электрических, тепловых и гидроаэродинамических процессов проводится в рамках вложенных итерационных циклов, а подмодель механических процессов достаточно рассчитать один раз, после окончания вычисления тепловых характеристик. Укрупнённый алгоритм процесса решения, изображённый в соответствии с [5], представлен на рис. 2.
Рассмотрим его подробнее его особенности:
1. В начале расчёта задают входные сигналы, внешние воздействия, начальные условия и начальные приближения для подмоделей, входящих в состав комплексной модели. В общем случае входные сигналы электрической схемы, характеристики источников расхода и давления теплоносителя и внешние тепловые и механические воздействия точно известны. Начальные приближения (НП) могут быть предсказаны с достаточной степенью точности. Например, для подмоделей тепловых процессов [6] вектор начального приближения определяется как:
,
где ? средняя температура; ? k-ый источник с заданной температурой; М ? количество источников с заданной температурой в тепловой схеме; n - количество ветвей, для которых необходимо вычислять начальное приближение. В подмоделях гидроаэродинамических процессов НП, представляющие собой расходы теплоносителя, вычисляются исходя из предположительного режима течения и сечений сети каналов конструкции РЭА. Для подмоделей электрических процессов за НП принимают нулевые токи и напряжения в ветвях, а в механических - положение равновесия системы.
Рис. 2. Алгоритм последовательности решения систем уравнений, описывающих комплексную модель
2. При начале расчёта наиболее сложно задать значения параметров ветвей, зависимых от выходных характеристик смежных подмоделей. В предлагаемом алгоритме начальные значения таких параметров определяются следующим образом:
? для подмодели электрических процессов (блок 1) начальное значение температуры в зависимых параметрах вычисляется по формуле (11);
? для подмодели гидроаэродинамических процессов (блок 2) температуры стенок сети каналов конструкции также вычисляются по формуле (11), а температуры потоков теплоносителя берутся равными его температуре на входе в конструкцию.
3. На первой итерации алгоритма в блоках 3 и 4 сравнение расчётных характеристик не проводится, так как для этого не достаточно данных (нет результатов расчёта систем уравнений на предыдущей итерации), а происходит переход к решению СНАУ (9), описывающей тепловые процессы (блок 5). Все параметры матрицы и вектора , зависимые от электрических и гидроаэродинамических характеристик определяются из последних результатов решения соответствующих систем уравнений.
4. Далее, на первой итерации, как и в предыдущем случае, без проведения проверки в блоке 6 происходит переход к блоку 2 для решения СНАУ (8), при этом параметры матрицы и вектора , зависимые от температуры определяются из последних результатов решения СНАУ (9).
5. После решения СНАУ (8) осуществляется переход к блоку 4, в котором происходит сравнение скоростей течения теплоносителя в каналах конструкции полученных после расчёта СНАУ (8) и использованных при решении СНАУ (9). В случае, если не выполняется условие равенства скоростей (12), то происходит переход к блоку 5 (шаг 6), в противном случае - к блоку 7 (шаг 7).
,
где - вектор погрешностей расчёта скоростей течения теплоносителя, в котором ; - скорость теплоносителя, полученная в результате решения СНАУ (8), описывающей гидроаэродинамические процессы; - соответствующая скорость теплоносителя, использованная при решения СНАУ (9), описывающей тепловые процессы.
6. Проводится повторный расчёт СНАУ (9) и выполняется проверка условия равенства температур, полученных в результате последнего решения СНАУ (9) и использованных при расчёте СНАУ (8). В случае не выполнения условия (13) равенства температур, происходит возврат к блоку 2 (на шаг 5). В противном случае - к блоку 7 (шаг 7).
,
где - вектор погрешностей расчёта температур потоков теплоносителя и стенок каналов сети конструкции, в котором ; - температура, полученная в результате решения СНАУ (9), описывающей тепловые процессы; - соответствующая температура ЭРЭ, использованная при решения СНАУ (7), описывающей тепловые процессы.
Таким образом, выход из цикла итерационного решения систем уравнений гидроаэродинамических и тепловых процессов возможен при выполнении любого из условий (12) или (13), описанных в блоках 4 и 6.
7. В блоке 7 проводится сравнение температур электрорадиоэлементов (ЭРЭ) полученных в результате последнего решения СНАУ (9) и использованных при решении СНАУ (7), описывающей электрические процессы. В случае не выполнения условия (14) равенства температур ЭРЭ происходит возврат к блоку 1 (шаг 8) для повторного решения СНАУ (7). В противном случае выполняется переход к блоку 8 (шаг 10).
,
где - вектор погрешностей расчёта температур электрорадиоэлементов, в котором ; - температура ЭРЭ, полученная в результате решения СНАУ (9), описывающей тепловые процессы; - соответствующая температура, использованная при решения СНАУ (6), описывающей гидроаэродинамические процессы.
8. При повторном решении СНАУ (7) зависимые от температуры параметры матрицы и вектора , определяются исходя из последних результатов решения СНАУ (9).
9. В блоке 3 выполняется сравнение мощностей тепловыделения, полученных при расчёте СНАУ (7), со значениями, использованными для последнего расчёта СНАУ (9). В случае не выполнения условия (15) равенства мощностей тепловыделения происходит переход к блоку 5 (шаг 6). В противном случае выполняется переход к блоку 8 (шаг 10).
,
где - вектор мощностей тепловыделения, в котором ; - мощность тепловыделения одного или нескольких ЭРЭ, полученная в результате решения СНАУ (7), описывающей электрические процессы в схеме; - соответствующая мощность тепловыделения, использованная при решения СНАУ (9), описывающей тепловые процессы.
Таким образом, выход из итерационного цикла решения систем уравнений электрических, тепловых и гидроаэродинамических процессов (блоки 1 - 7) возможен при выполнении любого из условий (14) или (15), описанных в блоках 3 и 7. Выполнение этих условий одновременно говорит о том, что условия (12) и (13) так же выполнены.
10. Решается СНАУ (10), при этом зависимые от температуры параметры матрицы , определяются исходя из последних результатов решения СНАУ (9). После этого алгоритм завершат работу.
При решении комплексной модели возможны ситуации, когда процесс расчёта не сходится, хотя для подмодели каждого из четырёх процессов наблюдается сходимость во всех точках диапазона изменения зависимых параметров.
Анализ применяемых компонентов моделей показывает, что причина этого в особенностях функционирования элементов электрических схем, имеющих защиту от перегрева, таких как IGBT-модули, процессоры и д.р. Электрические характеристики и мощность тепловыделения таких ЭРЭ скачкообразно меняются при достижении температуры элемента уровня срабатывания тепловой защиты. Поэтому при некоторых сочетаниях схемно-конструктивных решений, режимов работы и значений внешних воздействий возможно отсутствие сходимости алгоритма решения.
Для устранения вероятности возникновения указанной ситуации необходимо обеспечивать в ветвях комплексной модели неразрывность функций параметров при изменении аргументов, зависимых от характеристик модели.
Сложность решению комплексных моделей электрических, тепловых, гидроаэродинамических и механических процессов придает так же то, что постоянные времени и периоды функций выходных характеристик подмоделей различных физических процессов сильно отличаются (в тысячи раз и более). Поэтому расчет комплексных моделей имеет следующие особенности:
? переходные процессы в электрических схемах рассчитывают при температурах ЭРЭ, которые они имели на момент начала переходного процесса;
? динамические и частотные характеристики моделей электрических схем рассчитывают при температурах, которые они достигают после выхода в статический тепловой режим работы;
? частотные и временные характеристики подмоделей механических процессов рассчитывают при постоянных температурах статического теплового режима;
? статические гидроаэродинамические характеристики рассчитывают для каждого момента времени, при котором считается переходные тепловые процессы;
? мощности тепловыделения, получаемые из расчёта подмоделей электрических процессов, интегрируют по времени;
? если по условиям функционирования устройство не выходит в стационарный тепловой режим, то соответствующие характеристики смежных процессов рассчитывают при максимальной достигаемой ЭРЭ температуре.
Алгоритм вычисления эффективных параметров ветвей комплексной модели верхнего иерархического уровня
Данный алгоритм применяется на четвёртом этапе метода автоматизированного иерархического комплексного моделирования физических процессов в РЭА, описанного в п. 2, для вычисление эффективных параметров компонентов МВИУ. Предлагаемый алгоритм приведён на рис. 3.
Блок 1. При иерархическом моделировании, когда МВИУ задаётся в виде эквивалентной цепи (схемы) между расчётными характеристиками МВИУ и интегральными расчётными характеристиками МНИУ можно установить соответствия, обозначающие, что эти характеристики описывают процессы в одних и тех же внутренних областях пространства конструкции РЭА. Например, температура одной и той же поверхности, давление потока теплоносителя в сечении канала и т.д. Очевидно, что повысив точность совпадения этих характеристик можно снизить погрешности моделирования при иерархическом подходе.
В общем случае не для каждого узла и ветви МВИУ имеется соответствующая интегральная расчётная характеристика МНИУ, но для всех интегральных характеристик МНИУ всегда существует соответствующий узел или ветвь МВИУ. Выделение описанных соответствий проводится разработчиком при построении единой математической модели взаимосвязанных электрических, тепловых, гидроаэродинамических и механических процессов. В результате формируется два множества: множество эквивалентных узлов МВИУ мощностью l, и множество эквивалентных ветвей МВИУ .
Блок 2. По выделенному в блоке 1 множеству узлов организуется цикл, в котором расчётным путём формируется множество предварительных значений эффективных параметров ветвей МВИУ инцидентных этим узлам.