Материал: Методические указания для организации самостоятельной работы по изучению раздела «Интегралы» курса «Математический анализ» для студентов направления подготовки бакалавров «Экономика». Глушко Е.Г., Максимова Е.И

Иногда от квадратичных иррациональностей можно избавиться с помощью замен другого типа.

Пример 13. .

Решение. Сделаем так называемую обратную подстановку: .Тогда

7. Интегрирование тригонометрических функций

В зависимости от вида подынтегральной функции можно применять для упрощения тригонометрического выражения различные способы.

Для интегралов вида :

а) если хотя бы одно из чисел т,п – нечетное (например, m = 2k + 1), то

.

Пример 14.

б) если т и п – четные, положительные, то степени понижаются сведением к двойному углу по формулам

Пример 15.

в) Если т,п – четные и хотя бы одно из них отрицательно (или если т и п – отрицательные числа одинаковой четности), то используем соотношения

Пример 16.

Пример 17.

Интегралы вида

приводятся к табличным с помощью формул

Пример 18.

Интегралы вида , где R – рациональная функция, приводятся к интегралам от рациональных функций новой переменной t в общем случае с помощью подстановки , откуда . В случае четности R по sin x и cos x: R(-sin x, -cos x) = R(sin x, cos x) используем подстановку t = tg x, откуда

.

Пример 19. .

При вычислении интеграла применена подстановка .

Пример 20.

Здесь использовалась замена t = tg x .

II. Определенный интеграл

1. Формула Ньютона-Лейбница

Для вычисления определенных интегралов от непрерывных функций с конечными пределами необходимо, пользуясь известными методами интегрирования, получить первообразную от интегрируемой функции и, применяя формулу Ньютона-Лейбница

найти разность значений первообразной при подстановке вместо переменной верхнего и нижнего пределов интегрирования.

Пример 21. Найти .

Решение.

.

Пример 22. Вычислить интеграл .

Решение. Воспользуемся формулой замены переменной в определенном интеграле:

и применим подстановку т.е. x = t². Определим новый промежуток интегрирования: х = 4 при t = 2; х = 9 при t = 3. Следовательно,

Пример 23. Вычислить .

Решение. Воспользуемся формулой интегрирования по частям в определенном интеграле

.

III. Несобственные интегралы

1. Несобственный интеграл I рода.

Пусть функция f(x) определена на и интегрируема на отрезке [a; b] для любого b > a. Несобственный интеграл первого рода определяется равенством

.

Если существует конечный предел в этом равенстве, то интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Аналогично определяются несобственные интегралы и : , .

Пример 24. Вычислить

а) ; б) ; в) .

Решение.

а)

.

б)

,

и интеграл расходится;

в)

.

Для исследования вопроса сходимости несобственного интеграла часто оказывается полезным следующий факт (a > 0):

Аналогичное утверждение справедливо для интеграла ,

b < 0, и , a > c.

Теорема (первый признак сходимости). Пусть f(x) и g(x) определены на , для любого b>a f(x), g(x) интегрируемы на и . Тогда

1. если сходится, то сходится и ;

2. если расходится, то расходится и .

Теорема (второй признак сходимости). Пусть f(x) и g(x) определены на , и пусть существует конечный предел . Тогда интегралы , ведут себя одинаково в смысле сходимости (т.е. одновременно сходятся или расходятся).

Теорема. Если сходится, то сходится и (в таком случае говорят, что сходится абсолютно).

Аналогичные утверждения справедливы для несобственного интеграла .

Пример 25. Исследовать на сходимость интегралы:

а) ; б) ; в) .

Решение. а) Применим теорему сравнения. В нашем случае при х ≥ 1 справедливо неравенство . Рассмотрим Так как сходится, то на основании теоремы сравнения несобственный интеграл сходится.