Материал: Методические указания для организации самостоятельной работы по математике для студентов. Посметьев В.В., Кретова Л.Д

ФГБОУ ВПО "Воронежский государственный

технический университет"

Кафедра высшей математики

и физико-математического моделирования

Методические указания

для организации самостоятельной работы по математике

для студентов направлений 210100, 210400, 200100, специальности 210601 очной формы обучения

Воронеж 2011`

Составители: канд. физ.-мат. наук В.В. Посметьев, канд. физ.-мат. наук Л.Д. Кретова, канд. физ.-мат. наук Н.Б. Ускова

УДК 517.9

Методические указания для организации самостоятель­ной работы по математике для студентов направлений 210100, 210400, 200100, специальности 210601 очной формы обучения / ФГБОУ ВПО "Воронежский государственный технический университет"; сост. В.В. Посметьев, Л.Д. Кретова, Н.Б. Ускова. Воронеж, 2011. 38 с.

Методические указания разработаны с целью организации самостоятельной работы студентов над некоторыми разделами курса “Математика” и состоят из 6 разделов. В каждом из них изложен теоретический материал по предлагаемым для самостоятельного изучения темам, разработаны типичные примеры и задачи, сформулированы вопросы для самопроверки и задачи для самостоятельного решения.

Предназначены для студентов первого курса, 2 семестра.

Содержатся в электронном виде в текстовом редакторе Word 2003 в файле Кретова.doc.

Ил. 14. Библиогр.: 5 назв.

Рецензент канд. физ.-мат. наук, проф. Г.Е. Шунин

Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. И.Л. Батаронов

Издается по решению редакционно-издательского сове­та Воронежского государственного технического университета

Ó ФГБОУ ВПО "Воронежский государственный технический университет", 2011

1. Экстремумы функции нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее значения функции

Прежде чем приступить к изучению нового материала, вспомните необходимые и достаточные условия существования экстремумов функции одной переменной и методику нахождения точек экстремума и наибольшего и наименьшего значений функции.

Для функции двух переменных z = f(x, y) необходимым условием экстремума является равенство нулю частных производных и . Точки, в которых это условие выполняется, называются стационарными точками функции z(x,y).

Сформулируем достаточные условия экстремума для функции z = f(x,y). Пусть f(x,y) – функция, определенная в некоторой ε-окрестности точки (x ,y ) и имеющая в этой точке непрерывные частные производные второго порядка , , . Пусть, кроме того, в точке (x , y ) выполняются необходимые условия экстремума:

; . (1)

Если при этом в точке (x , y )

, (2)

то (x , y ) является точкой локального экстремума: при – минимума, при – максимума. Если в рассматриваемой стационарной точке D>0, то экстремума нет, а если D=0 – требуется дополнительное исследование.

Пример 1. Исследовать на экстремум функцию

.

Решение. Найдем частные производные первого порядка и приравняем их нулю:

Решив эту систему уравнений, найдем две стационарные точки A(0, 0) и A(1, 1).

Вычислим частные производные второго порядка:

Проверим достаточные условия в каждой стационарной точке. В точке A : , следовательно, экстремума нет. В точке A : , , следовательно, функция имеет минимум, равный

.

Если функция z= f(x, y) непрерывна в ограниченной замкнутой области, то она достигает своего наибольшего и наименьшего значения или в стационарных точках или на границе области. По этому для отыскания наибольшего и наименьшего значений функции необходимо:

- найти стационарные точки, принадлежащие рассматриваемой области и вычислить значения функции в этих точках (достаточные условия экстремума проверять не следует);

- найти наибольшее и наименьшее значения функции на линиях, образующих границу области;

- из всех полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, ограниченной областью Oy, прямой y = 2 и параболой при (рис. 1).

Решение.

1) Находим стационарные точки функции.

Решив систему уравнений

Получим две стационарные точки O(0, 0) и H(1, 1). Первая из них принадлежит границе области. Следовательно, если функция z принимает наибольшее (наименьшее) во внутренней точке области, то это может быть только в точке H(1, 1). Найдем z(H) = z(1, 1) = –1.

2) Исследуем функцию на границе области

а) на отрезке OA имеем x = 0, поэтому – возрастающая функция одной переменной y; наибольшее значение она принимает на концах отрезка OA. z(O ) = z(0;0) = 0; z(A) = z (0;2) = 12;

б) на отрезке AB имеем y = 2, следовательно, представляет функцию одной переменной x; ее наибольшее и наименьшее значения находятся среди ее значений в критических точках и на концах отрезка. Решая уравнение находим . Внутри отрезка имеется лишь одна критическая точка ; соответствующей точкой отрезка AB является точка Q( ;2). Итак, наибольшее и наименьшее значения функции z на отрезке AB находится среди ее значений в точках A, Q и B. Найдем

Рис. 1

; ;

в) на дуге OB параболы имеем .Решая уравнение , получим и ; соответствующими точками параболы являются точки O(0,0) и P(1;1/2). Таким образом, наибольшее и наименьшее значения функции z на дуге OB находятся среди ее значений в точках O, P и B. Найдем

.

3) сравнивая значения функции в точках H, O, A, Q, B и P, получим решение задачи

, .

Задания для самостоятельного решения

Выполните упражнения: [1], № 3272, 3273, 3277, 3281, 3282, 3286.

Контрольные вопросы

1. Почему понятие экстремума является локальным понятием?

2. Как сформулировать необходимые условия экстремума для функции n переменных?

3. Где достигается наибольшее и наименьшее значения функции?

4. Какие точки называются стационарными?

2. Деление многочленов.

Разложение многочленов на множители

При отыскании корней алгебраических уравнений и выделении целой части из дробно-рациональной функции нередко приходится выполнять операцию деление многочлена на многочлен.

Напомним, что при делении натурального числа на число всегда можно найти два других числа и таких, что

или . (3)

Число называется частным а – остатком от деления.

При делении многочлена степени на многочлен степени также всегда можно найти два других многочлена и , удовлетворяющие условиям:

или . (4)

Многочлен называется частным от деления и его степень равна разности степеней делимого и делителя, – остаток, степень которого меньше степени делителя. Соотношение (4) показывает, что неправильную рациональную дробь всегда можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби. Чтобы поделить многочлены, следует:

а) записать делимое и делитель по убывающим степеням ;

б) слагаемое, содержащее старшую степень делимого, разделить на старшую степень делителя;

в) полученное частное умножить на делитель и вычесть из делимого;

г) продолжить деление до тех пор, пока старшая степень делимого не станет меньше старшей степени делителя.

Пример 1. Разделить многочлен на квадратный двучлен .