Материал: Методические указания для организации самостоятельной работы по математике для студентов. Посметьев В.В., Кретова Л.Д

Решение.

6x⁴ - 2x² + 3x – 1 │2x² - 4x

– │───────

6x⁴ - 12x³ 3x² + 6x + 11

––––––––––––––––––

12x³- 2x² + 3x - 1

–

12x³- 24x²

–––––––––––––––

22x² + 3x - 1

–

22x² - 44x

–––––––––––

47x - 1.

Следовательно:

.

Из школьного курса математики известно, что любой квадратный трехчлен может быть разложен на множители по формуле

, (4)

где и – действительные корни соответствующего квадратного уравнения. Если дискриминант квадратного уравнения меньше нуля, то его корни являются комплексными числами, а формула разложения сохраняет свой вид.

Покажем, что аналогичные формулы можно получить для многочленов любой степени. Рассмотрим произвольный многочлен степени

, (5)

где (k = 0, 1, …, n) – действительные числа, а независимая переменная x может принимать как действительные, так и комплексные значения. Число называют корнем многочлена , если . Корни многочлена, очевидно, совпадают с корнями алгебраического уравнения

. (6)

Теорема 1. Всякое алгебраическое уравнение (2.3) при имеет по крайней мере одно решение.

Эта теорема (ее называют основной теоремой алгебры) доказана в курсе высшей алгебры и из нее следует, что любой многочлен ненулевой степени имеет хотя бы один корень.

Для выяснения количества корней многочлена докажем следующее утверждение.

Теорема 2. При делении многочлена на по­лучается остаток, равный .

Доказательство. Из рассмотренного выше правила де­ления многочленов следует, что частным от деления будет многочлен -й степени , а остатком – многочлен нулевой степени, т.е. число . Результат деления можно пред­ставить соотношением:

.

Отсюда

.

Полагая , получаем , что и требовалось доказать.

Следствие. Если – корень многочлена (2.2), то делится на без остатка, т.е.

. (7)

Применяя теоремы 1 и 2 к многочлену , полу­чим

.

где – корень многочлена , а следовательно и много­члена .

Продолжая этот процесс выделения корней, получим формулу

. (8)

Если среди корней многочлена есть кратные, то (2.5) принимает вид:

,

где – кратность соответствующего корня, причем .

Если многочлен имеет комплексные корни , то, перемножая соответствующие им скобки, получим

,

где , , причем . Следовательно, каждой паре взаимно сопряженных комплексных корней мно­гочлена в формуле разложения можно поставить в соответст­вие приведенный квадратный трехчлен с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом. Если эти комплексные корни имеют кратность , то соответствующий квадратный трехчлен в формуле разложения имеет степень .

Итак, всякий многочлен с действительными коэффициентами может быть единственным образом разложен на множители по формуле:

, (9)

где x₁, x₂, …, x_k – действительные корни многочлена ; p₁, q₁, …, p_s, q_s – действительные числа; каждый из квадрат­ных трехчленов имеет только комплексные корни; r₁, r₂, …, r_k, l₁, l₂, …, l_s– целые положительные числа, причем .

Заметим, что при отыскании действительных корней алгебраических уравнений можно использовать теорему:

Теорема 3. Все целые корни приведенного алгебраиче­ского уравнения с целыми коэффициентами являются делите­лями его свободного члена.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Подставляя делители свободного члена в уравнение, получаем, что его корнями являются числа: 1, -2, -3.

Пример 3. Разложить на множители многочлен

.

Решение. Нетрудно убедиться, что один из делителей свободного члена является корнем многочлена . После деления на получим

.

Решения полученного биквадратного уравнения имеют вид: , . Отсюда , , , . Итак, многочлен имеет действительный корень , кратность которого равна 2, действительный простой корень и два простых взаимно-сопряженных комплексных корня . Тогда из (9) следует:

Задания для самостоятельного решения

1. Решить уравнения:

а) ;

б) .

2. Разложить на множители многочлены:

а) ; б) .

3. Выполнить деление многочленов:

а) ;б) .

Контрольные вопросы

1. В каком случае многочлен Q_n(x) делится на x-b без остатка?

2. Сколько корней имеет многочлен степени n?

3. Может ли алгебраическое уравнение не иметь ни одного решения?

3. Интегрирование простейших дробно-рациональных функций

Интегрирование любой правильной рациональной дроби (n<m) выполняется разложением этой дроби на сумму правильных простейших дробей четырех типов с последующим их интегрированием.

Простейшей дробью четвертого типа называют дробь вида

где k=2,3,…; A,B,p,q – действительные числа, причем следовательно стоящий в знаменателе квадратный трехчлен не имеет действительных корней. Такую дробь с помощью тождественных преобразований представляют в виде линейной комбинации двух дробей вида

и

Интеграл от первой дроби легко сводится к табличному

(10)

а интеграл от второй дроби после выделения полного квадрата в знаменателе и замены переменной принимает вид

где t=x+a. При k=1 этот интеграл легко вычисляется:

(11)

Если k>1, то можно с помощью интегрирования по частям выразить через :