Материал: Методические указания для организации самостоятельной работы по математике для студентов. Посметьев В.В., Кретова Л.Д

Рис. 12

Далее, пользуясь формулой (14) и найденными значениями полярных углов, определяем искомую площадь:

Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми и (рис.13).

Решение. Так как при то первая кривая лежит в верхней полуплоскости и проходит через полюс Чтобы построить ее, перейдем в декартовые координаты, пользуясь соотношениями и Получаем Приведя это уравнение к каноническому виду, будем иметь Это уравнение окружности с центром (0, 1/2) и радиусом

Рис. 13

равным . Вторая кривая определена при т.е. при и также проходит через полюс Преобразуем уравнение второй кривой

и перейдем в декартовые координаты

Приведем полученное уравнение к каноническому виду:

Видно, что это уравнение окружности с центром и радиусом равным

Из вышесказанного следует, что полюс есть точка пересечения окружностей. Другая точка пересечения окружностей находится из решения уравнения или откуда Из рис.13 видно, что искомая площадь равна сумме площадей сегментов и причем сегменты примыкают друг к другу по лучу Дуга первого сегмента описывается концом полярного радиуса второй окружности при поэтому его площадь

Дуга второго сегмента описывается концом полярного радиуса первой окружности при поэтому его площадь

Таким образом, искомая площадь

Пример 5. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми и (рис.14).

Решение. Определим область, в которой расположена первая кривая. Для этого решим неравенство Получаем Так как то в декартовых координатах уравнение первой кривой запишется следующим образом или в каноническом виде - это уравнение окружности с центром и радиусом, равным

Рис. 14

Окружность расположена в правой полуплоскости и проходит через полюс

Для построения второй кривой решаем неравенство Получаем Видно, что при граничных значениях полярного угла а при достигает максимального значения

Из вышеизложенного следует, что одной точкой пересечения данных кривых является полюс. Найдем остальные точки пересечения кривых. Для этого решим систему

Здесь указан диапазон углов, общих для обеих кривых. Приравнивая правые части уравнений, получаем

Из рисунка видно, что искомая площадь равна сумме площадей и двух сегментов, причем сегменты примыкают к друг другу по лучу Дуга первого сегмента описывается концом полярного радиуса при изменении полярного угла от до поэтому

.

Дуга второго сегмента описывается концом полярного радиуса при изменении полярного угла φ от π/12 до π/2, поэтому

Таким образом, искомая площадь равна

.

Задания для самостоятельного решения

1. Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой

х = а cos³t, у = a sin³t.

2. Найти площадь фигуры, ограниченной аркой циклои­ды х = 2(t - sint), у = 2(l - cost) и прямой у = 2 (у>2).

3. Найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом

х = 2cost, = 3sint и прямой .

4. Найти площадь фигуры, ограниченной пятилепестковой розой .

5. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями и (рассмотреть два случая: r > 1 и r <1).

6. Найти площадь фигуры, ограниченной первым и вто­рым витками логарифмической спирали и лучом .

7. Найти площадь фигуры, ограниченной кардиоидой .