Материал: Методические указания к решению задач и выполнению контрольной работы № 1 по физике для студентов всех технических направлений подготовки. Москаленко А.Г., Гаршина М.Н

Подставив числовые значения в выражение (4), получим

.

Угловое ускорение получилось отрицательным, так как маховик вращался замедленно. Продолжительность торможе- ния определяем из уравнения (1):

,

и с учетом (4) окончательно

.

Подставив числовые значения найдем:

Задача 3. В системе, показанной на рисунке, массы тел равны , трения нет, массы блоков пренебрежимо малы. Найти ускорение тела массой относительно стола и ускорения грузов m₁ и m₂ относительно подвижного блока.

Решение

Укажем все силы, действующие на грузы. Если считать нити, связывающие грузы, невесомыми и нерастяжимыми, а также пренебречь массой блоков, то силы натяжения нити с обеих сторон от каждого блока равны, в частности, , .

Выберем положительные направления координатных осей х и y, запишем в скалярном виде уравнения движения груза и системы грузов в соответствии со вторым законом Ньютона:

; (1)

. (2)

Выразим из уравнения (2) силу Т , получим

. (3)

Приравняв правые части выражений (1) и (3), найдём

.

Откуда

. (4)

Запишем уравнения движения грузов m₁ и m₂ в проекциях на ось oy:

Решая систему уравнений с учётом (4), получим

.

Задача 4. Пуля массой m =15г, летящая с горизонталь- ной скоростью =500м/с , попадает в баллистический маятник M=6 кг и застревает в нем. Определить высоту h , на которую поднимется маятник, откачнувшись после удара.

Решение

При неупругом ударе выполняется только закон сохранения импульса, в соответствии с которым

,

г де u – скорость тел после удара.

После удара, пренебрегая силами сопротивления воздуха, можно воспользоваться законом сохранения механической энергии

.

Решая совместно полученные уравнения, найдем

; h = 7,9 см.

Задача 5. Частица совершает перемещение в плоскости ХУ из точки с координатами (1,2)м в точку с координатами (2,3)м под действием силы Н. Определить работу данной силы.

Решение

Элементарная работа, совершаемая силой F при переме- щении , равна скалярному произведению этих векторов.

.

Работа при перемещении частицы из точки 1 в точку 2 определится интегрированием

.

Подставляя числовые значения, получим

.

Задача 6. Потенциальная энергия частицы имеет вид

, где  – константа. Найти: а) силу , дейст- вующую на частицу; б) работу А, совершаемую над частицей силами поля при её перемещении из точки М(1,1,1,) в точку N(2,2,3).

Решение

Используя выражение, связывающее потенциальную энергию частицы с силой, действующей на неё, получим

.

Работа сил потенциального поля равна убыли потенциальной энергии

.

По известным координатам точек M и N находим

, ,

и .

Задача 7. Через блок в виде диска массой m₀ перекинута нить, к концам которой прикреплены грузы массами m₁ и m₂ (m₂ > m₁). Найти ускорение грузов. Трением пренебречь.

Решение

Применим к решению задачи основные законы динамики поступа- тельного и вращательного движения. С этой целью, покажем силы, дейст-вующие на тела данной системы, напишем уравнения движения для каждого из тел в отдельности.

На каждый из движущихся грузов действуют две силы: сила тяжести и сила натяжения нити (см. рис.). Уравнения движения этих тел в проекции на ось y имеет вид

-m₁a = m₁g-T₁ , (1)

+m₂a = m₂g-T₂ . (2)

Вращение блока вызывается действием сил натяжения нити, поскольку моменты сил тяжести блока и реакции оси равны нулю. Тогда основное уравнение динамики вращательного движения для блока имеет вид

(3)

где R - радиус блока, I=m₀R²/2- его момент инерции, ε - угловое ускорение.

Учтено также, что по третьему закону Ньютона силы натяжения нити с каждой из сторон блока одинаковы по модулю, т.е.

T₁=T^/₁ , T₂=T^/₂

Если нить не проскальзывает относительно блока, то касательное ускорение его точек, соприкасающихся с нитью, равно ускорению нити в любой её точке, а следовательно

 =εR.

Решение системы полученных уравнений дает искомый результат

Задача 8. Однородный шар скатывается без скольжения с наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол . Найдите ускорение центра инерции шара.

Решение

Решим данную задачу двумя методами: как непосредст- венным использованием уравнения динамики, так и с помощью законов сохранения.

1-й метод

, (1)

, (2)

где а_с – ускорение центра масс шара, -момент инерции шара относительно его центра масс, - угловое ускорение.

Учитывая, что , и , преобразуем уравнение (2) к виду

. (3)

Решая уравнение (1) и (3) совместно, получим

. (4)

2-й метод

Рассмотрим шар в некоторый момент его движения по наклонной плоскости. Пусть положим его центр масс в данный момент времени определяется координатой X. Полная механи- ческая энергия шара, при условии, что за нулевой уровень потенциальной энергии выбрана точка О , будет равна

. (5)

Дифференцируя данное уравнение по времени, получим

После преобразования, с учетом того, что

; ; и ,