Материал: Методические указания к выполнению лабораторных работ № 3-4 по дисциплине «Компьютерные технологии в науке и образовании». Ромащенко М.А
Таблица 4 - Варианты индивидуальных заданий |
|
|
|
|||||
x |
|
1,3 |
2,1 |
3,7 |
4,5 |
6,1 |
7,7 |
8,5 |
f x lg x |
x x2 |
1,777 |
4,563 |
13,84 |
20,39 |
37,34 |
59,41 |
72,4 |
Задание 3 – Уплотнить часть таблицы заданной на отрезке [a,b] функции, используя интерполяционный многочлен Ньютона (1.5) и оценить погрешность интерполяции D (1.6). Таблицу 8 конечных разностей просчитать вручную на отрезке [a,b] с шагом h . Для выполнения задания исходные данные берутся из таблиц 5, 6 или 7.
|
|
P |
x y |
|
t y |
|
t t 1 |
2 y |
|
|
t t 1 t 2 |
3 y |
|
(1.5) |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|||||||||||
2 |
|
0 |
2! |
|
3! |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где t |
x x0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
h |
|
|
|
|
t t 1 t 2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
D |
f |
|
(1.6) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
||
где – некоторая внутренняя точка наименьшего промежутка, содержащего все узлы xi i 0,n и x .
Формула (1.5) называется первой интерполяционной формулой Ньютона. Если вычисляемое значение переменной ближе к концу отрезка [a;b], то
применяют вторую формулу Ньютона – интерполирование назад |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
P x |
y |
|
t y |
|
|
t t 1 |
2 y |
|
|
|
t t 1 t 2 |
3 y |
|
(1.7) |
||||
|
|
n |
n 1 |
|
n 2 |
|
|
n 3 |
||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
2! |
|
3! |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где t |
x xn |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
t t 1 t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
D |
f |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 5 - Варианты индивидуальных заданий |
|
|
|
|||||||||||||||||
Вариант |
a |
|
|
|
b |
|
h0 |
|
|
h |
|
доп. таблица |
|
|||||||
1 |
|
0,65 |
|
|
|
0,80 |
|
0,05 |
|
0,01 |
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
0,25 |
|
|
|
0,40 |
|
0,05 |
|
0,025 |
|
|
|
|
|
|||||
3 |
|
0,75 |
|
|
|
0,90 |
|
0,05 |
|
0,01 |
|
|
|
|
|
|||||
4 |
|
0,70 |
|
|
|
0,85 |
|
0,05 |
|
0,025 |
|
|
|
|
|
|||||
5 |
|
0,80 |
|
|
|
0,95 |
|
0,05 |
|
0,025 |
|
|
|
|
|
|||||
6 |
|
0,10 |
|
|
|
0,25 |
|
0,05 |
|
0,025 |
|
|
|
|
|
|||||
7 |
|
0,15 |
|
|
|
0,30 |
|
0,05 |
|
0,025 |
|
|
|
|
|
|||||
4
8 |
0,70 |
0,85 |
0,05 |
0,025 |
9 |
0,20 |
0,35 |
0,05 |
0,01 |
10 |
0,80 |
0,95 |
0,05 |
0,01 |
Таблица 6 - Варианты индивидуальных заданий |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x |
0,10 |
0,15 |
0,20 |
0,25 |
|
|
|
0,30 |
|
0,35 |
|
0,40 |
|||
f x cos x |
0,995 |
0,988 |
0,980 |
0,969 |
|
|
0,955 |
|
0,939 |
|
0,921 |
||||
Таблица 7 - Варианты индивидуальных заданий |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x |
0,65 |
0,70 |
0,75 |
0,80 |
|
|
|
0,85 |
|
0,90 |
|
0,95 |
|||
f x sin x |
0,605 |
0,644 |
0,681 |
0,71 |
|
|
|
0,75 |
|
0,783 |
|
0,813 |
|||
Таблица 8 – Таблица конечных разностей |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x |
|
y |
|
|
y |
|
2 y |
|
|
3 y |
|
||||
x0 |
|
y0 |
|
y0 y1 y0 |
|
2 y y y |
|
3 y 2 y 2 y |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
|
x1 x0 h |
|
y1 |
|
y1 y2 y1 |
|
2 y y |
2 |
y |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x2 x1 h |
|
y2 |
|
y2 y3 y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 x2 h |
|
y3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.3. Контрольные вопросы для отчета работы
1.В чем особенность приближения таблично заданной функции методом интерполирования?
2.Как обосновывается существование и единственность интерполяционного многочлена?
3.Как связана степень интерполяционного многочлена с количеством узлов интерполяции?
4.Как строятся интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона?
5.В чем особенности этих двух способов интерполяции?
6.Как производится оценка погрешности метода интерполяции многочленом Лагранжа?
7.Как используется метод интерполирования для уточнения таблиц
функций?
8.В чем отличие между первой и второй интерполяционными формулами Ньютона?
5
2.ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4
ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ В СИСТЕМЕ MATHCAD
Цель работы: получить представление о численном интегрировании в системе Mathcad с помощью различных способов.
Время работы: 4 часов.
2.1. Домашние задания и методические указания по их выполнению
Задание 1 – вспомнить основные способы численного интегрирования.
Формулы, используемые для приближенного вычисления однократных интегралов, называют квадратурными формулами. Простой прием построения квадратурных формул состоит в том, что подынтегральная функция f(x) заменяется на отрезке [a,b] интерполяционным многочленом, например, многочленом Лагранжа Ln x ; для интеграла имеем приближенное равенство
(2.1). Предполагается, что отрезок [a,b] разбит на n частей точками (узлами) xi, наличие которых подразумевается при построении многочлена Ln x . Для
равноотстоящих узлов |
x x |
ih, h b a , x |
a, x |
b |
|
||||||
|
i 0 |
|
|
|
|
n |
0 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
b |
f x dx b Ln x dx |
|
(2.1) |
||||||
|
|
a |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
При определенных допущениях получаем формулу трапеций |
|
||||||||||
b |
|
|
y |
y |
n |
|
|
|
|
|
|
f x dx h |
0 |
|
y1 |
y2 ... |
yn 1 |
(2.2) |
|||||
|
2 |
|
|||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где yi − значения функции в узлах интерполяции.
Имеем следующую оценку погрешности метода интегрирования по формуле трапеций (2.2)
Rn |
|
M |
|
|
b a |
|
h2 |
, где M max |
|
f 2 x |
|
, x a,b |
(2.3) |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
12 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Во многих случаях более точной оказывается формула Симпсона (формула парабол)
b |
2h y |
0 |
y |
2m |
|
|
|
||
f x dx |
|
|
|
|
2 y1 y2 |
... 2 y2m 1 |
(2.4) |
||
3 |
|
|
2 |
|
|||||
a |
|
|
|
|
|
|
|||
6
Для формулы Симпсона имеем следующую оценку погрешности
Rn |
|
M |
|
|
b a |
|
h4 |
, где M max |
|
f 4 x |
|
, x a,b . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
180 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Задание 2 – освоить символьное решение систем уравнений в системе
Mathcad.
Вычислить интеграл от заданной функции на отрезке [a,b] по формуле трапеций и прямым способом/ Ниже приведен фрагмент рабочего документа с соответствующими вычислениями.
2.2. Лабораторные задания
Задание 1 – Составить программу вычисления интеграла от заданной функции на отрезке [a,b] по формуле трапеций с шагом h=0,1и h=0,05. Сравнить результаты. Оценить точность по формуле (2.3). Сравнить результаты. Варианты индивидуальных заданий приведены в таблице 9.
Таблица 9 - Варианты индивидуальных заданий |
|
||
Вариант |
Функция |
a |
b |
1 |
0,37esin x |
0 |
1 |
|
|
1 |
|
2 |
0,5x xln x |
2 |
|
7
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||
3 |
|
x 1,9 sin x |
3 |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
1 ln x 2 |
|
|
3 |
|||
|
|
|
|
x |
|
|
0 |
|
||
5 |
|
|
|
|
3cos x |
|
|
1 |
||
|
|
|
|
|
2x 1,7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||
6 |
2x 0,6 cos x |
|
2 |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
1,2 |
|
||
7 |
|
|
|
2,6x2 ln x |
|
|
2,2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||
8 |
|
x |
2 |
1 sin x 0,5 |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||
9 |
|
|
|
x2 cos x 4 |
|
|
3 |
|||
|
|
|
|
|
3 |
|
||||
10 |
|
|
|
sin 0,2x 3 |
4 |
|||||
|
|
|
|
|
x2 1 |
|
|
|
|
|
Задание 2 – Составить программу вычисления интеграла от заданной функции на отрезке [a,b] по формуле Симпсона методом повторного счета с
точностью 10 6 . Варианты индивидуальных заданий приведены в таблице 9.
2.3. Контрольные вопросы для отчета работы
1.Каковы преимущества формулы парабол по сравнению с формулой трапеций и следствием чего являются эти преимущества?
2.Верны ли формулы (1.2), (1.4) для неравноотстоящих узлов?
3.В каких случаях приближенные формулы трапеций и парабол оказываются точными?
4.Как влияет на точность численного интегрирования величина шага?
5.Каким способом можно прогнозировать примерную величину шага для достижения заданной точности интегрирования?
6.Можно ли добиться неограниченного уменьшения погрешности интегрирования путем последовательного уменьшения шага?
|
СОДЕРЖАНИЕ |
1. Лабораторная работа № 3 |
1 |
2. Лабораторная работа № 4 |
6 |
|
8 |