Материал: Методические указания по математике к разделу «Дифференциальные уравнения» для студентов направления подготовки бакалавров «Нефтегазовое дело». Бырдин А.П., Зайцева М.И

ФГБОУ ВПО “Воронежский государственный технический университет”

Кафедра прикладной математики и механики

Методические указания

по математике к разделу

«Дифференциальные уравнения»

для студентов направления подготовки бакалавров 21.03.01 «Нефтегазовое дело» (профиль «Эксплуатация

и обслуживание объектов транспорта и хранения

нефти, газа и продуктов переработки»)

очной формы обучения

Воронеж 2015

УДК 517.2 (07)

Методические указания по математике к разделу «Дифференциальные уравнения» для студентов направления подготовки бакалавров 21.03.01 «Нефтегазовое дело» (профиль «Эксплуатация и обслуживание объектов транспорта и хранения нефти, газа и продуктов переработки»)

очной формы обучения / ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»; сост.: А.П. Бырдин, М.И. Зайцева, А.А. Сидоренко. Воронеж, 2015. 56 с.

Методические указания содержат краткие сведения из теории обыкновенных дифференциальных уравнений, материал в виде решенных задач и задачи для самостоятельного решения.

Предназначены для студентов первого курса.

Методические указания подготовлены в электронном виде в текстовом редакторе Word 2003 и содержится в файле НГД-Дифференциальные уравнения.doc.

Ил. 1. Библиогр.: 3 назв.

Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. Е.И. Иохвидов

Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р техн.

наук, проф. В.И. Ряжских

Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета

• ФГБОУ ВПО “Воронежский государственный технический университет”, 2015

Понятие дифференциального уравнения и его решения

Одной из важнейших задач, представляющих интерес для прикладных наук, является задача о нахождении неизвестной функции по заданным ее свойствам. Для решения такой задачи составляют уравнение, связывающее неизвестную функцию и величины, задающие ее свойства. Если свойства функции выражаются через производные или дифференциалы, приходят к дифференциальному уравнению, решая которое, находят искомую функцию. Итак, обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ) называется соотношение вида

, (1)

где – независимая переменная;

– неизвестная функция;

, - заданная функция.

Порядок старшей производной, входящей в ОДУ, называется порядком дифференциального уравнения.

Иногда уравнение (1) можно разрешить относительно старшей производной, тогда уравнение принимает вид

. (2)

Решением ОДУ порядка называется функция , имеющая на некотором интервале изменения независимого переменного непрерывные производные и удовлетворяющая этому уравнению. Это означает, что выполняется тождество по

График решения ОДУ -го порядка называется интегральной кривой этого уравнения.

Общим решением уравнения (1) или (2) называется такая функция , которая при любых допустимых значениях числовых параметров является решением этого дифференциального уравнения и если для любых допустимых начальных условий частное решение получается при определенных значениях этих постоянных.

Уравнение

(3)

определяющее общее решение как неявно заданную функцию, называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Частным решением ОДУ называется решение, получаемое из общего решения при каких-либо определенных значениях постоянных .

Пример. Дифференциальное уравнение имеет общее решение вида , – любое действительное число. Проверить, что при и полученные функции являются частными решениями этого уравнения.

1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной, следующий

(1.1)

Задачей Коши (или начальной задачей) для ОДУ (1.1) называют задачу нахождения решения этого уравнения, удовлетворяющего начальному условию , где и - заданные числа. Это означает, что ищется интегральная кривая уравнения (1.1), проходящая через заданную точку плоскости хоу. Для ОДУ вида (1.1) справедлива следующая теорема Коши: если в ОДУ (1.1) функция непрерывна в области D плоскости и имеет в этой области ограниченную частную производную , то для любой точки из области D в некотором промежутке существует единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию [I, §3 гл. XIII, §27 гл. XYI]; [2, §14 и §16].

Пример. Найти область, в которой уравнение имеет единственное решение.

Решение. В данной задаче - непрерывная функция в области , . Частная производная ограничена при . Следовательно, данное уравнение имеет единственное решение в области , .

1.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Уравнения вида

(1.2)

или в симметричной форме

(1.3)

называются уравнениями с разделяющимися переменными [I, §4 гл.XIII]; [2, §13].

Предполагается, что и в уравнении (1.2) непрерывны в промежутках , Если в точке функция в уравнении (1.2), то функция является решением этого уравнения.

Решения уравнения (1.2), при которых , удовлетворяют соотношению .

Таким образом, эта формула позволяет получить общее решение ОДУ (1.2). Частное решение уравнения (1.2), удовлетворяющее условию , дается выражением

.

Уравнение вида (1.3) делением на приводится к уравнению с разделенными переменными

.

Однако деление на может привести к потере частных решений, обращающих в ноль это произведение.

Пример. Решить уравнение .

Решение. Запишем данное уравнение в виде . Функции и - решения уравнения. Остальные решения найдем, разделив переменные в уравнении и проинтегрировав его