Материал: Методические указания по математике к разделу «Дифференциальные уравнения» для студентов направления подготовки бакалавров «Нефтегазовое дело». Бырдин А.П., Зайцева М.И
,
,
,
,
;
.
Таким образом,
общее решение имеет вид
,
где
может принимать как положительные, так
и отрицательные значения. Решение
можно получить из общего, положив
.
Но решение
нельзя получить ни при каких значениях
.
Задачи для самостоятельного решения
1. 
.
Ответ:
и
.
2. 
.
Ответ:
и
.
3. 
.
Ответ:
;
или
4. 
.
Ответ:
.
1.2. ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Однородные ОДУ первого порядка имеют вид
.
(1.4)
Функция
,
зависящая только от отношения переменных,
называется функцией нулевой степени.
Вообще, функция
называется однородной степени n,
если для любых x и
y и
выполняется равенство
.
Уравнение вида
(1.5)
будет однородным,
если
и
являются однородными функциями
и
одинаковой степени однородности.
Уравнение вида
(1.4) или (1.5) приводится к уравнению с
разделяющимися переменными подстановкой
.
Вычислив производную
и подставив в уравнение (1.4), получим
.
В этом случае, если
,
разделяя переменные и интегрируя,
получим
(1.6)
Если же найдутся
такие значения u,
при которых
,
то каждому такому
будет отвечать решение
,
не вытекающее из общего интеграла (1.6).
Пример.
Найти частное решение уравнения
,
удовлетворяющее начальному условию
.
Решение.
Применяем подстановку
.
Получим
;
;
;
,
,
;
,
.
Таким образом,
получен общий интеграл рассматриваемого
ОДУ. Для получения частного решения
подставим в общий интеграл начальные
данные
.
Определим постоянную
.
Частный интеграл, удовлетворяющий
заданным начальным данным, имеет вид
.
Пример.
Решить уравнение
.
Решение.
Перепишем уравнение в виде
и положим
,
откуда
.
Подставляя в уравнение выражения
и
,
получим
;
.
Последнее получим
при условии
.
Интегрированием находим
,
;
Учитывая, что
и обозначая
получим
,
где
или
.
Заменяя
на
,
получим общий интеграл
Положим теперь
х = 0 и
.
Но х = 0 не удовлетворяет уравнению
при произвольном у. Из второго
равенства имеем
,
.
Проверка показывает, что эти функции
являются решениями уравнения.
Задачи для самостоятельного решения
1.
.
Ответ:
.
2.
,
у(3)=4. Ответ:
.
3.
.
Ответ:
.
1.3 . Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Так называются уравнения вида
,
(1.7)
где
,
– непрерывные функции от х в той
области, в которой разыскивается решение
этого уравнения. Это уравнение линейно
как относительно функции у, так и
относительно ее производной. [I,
гл.XIII, §7] или [2, §13].
Если
,
то уравнение (1.7) называется линейным
однородным. Само уравнение (1.7) называют
линейным неоднородным.
Ясно, что линейное
однородное уравнение является уравнением
с разделяющимися переменными. Решение
уравнений такого типа описано в 1.1.
Решение уравнения (1.7) можно получить,
разыскивая его в виде
,
где одна из функций u
или v является
частным решением соответствующего
уравнения:
,
,
.
Тогда для функции
получим уравнение
.
Откуда
,
;
.
Решение уравнения
(1.7) с начальными условиями
дается выражением
.
Пример.
Решить уравнение
.