Материал: Методические указания по организации самостоятельной работы по курсу «Математика». Катрахова А.А., Купцов В.С

ФГ БОУВПО «Воронежский государственный

технический университет »

СПРАВОЧНИК МАГНИТНОГО ДИСКА

(Кафедра высшей математики и

физико-математического моделирования)

методические указания

по организации самостоятельной работы по курсу «Математика» по направлению 15.03.06 «Мехатроника и робототехника» профиль: «Подготовка промышленная и специальная робототехника», по направлению 27.03.04 «Управление в технических системах» профиль: «Управление и информатика в технических системах», очной формы обучения.

Часть 3

Составители: А.А. Катрахова, В.С. Купцов

Sam- rab 1k3 .docx 903 Кбайт 14.03.2015 уч.-изд. 2.5 л.

(название файла) (объем файла) (дата) (объем издания)

ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный

технический университет »

(Кафедра высшей математики

и физико-математического моделирования)

Методические указания

по организации самостоятельной работы по курсу «Математика» по направлению 15.03.06 «Мехатроника и робототехника» профиль: «Подготовка промышленная и специальная робототехника», по направлению 27.03.04 «Управление в технических системах» профиль: «Управление и информатика в технических системах», очной формы обучения.

Часть 3

Воронеж 2015

Составители: канд. физ.-мат. наук А.А. Катрахова, канд. физ.-мат. наук В.С. Купцов

УДК 517

Методические указания по организации самостоятельной работы по курсу «Математика» по направлению 15.03.06 «Мехатроника и робототехника» профиль: «Подготовка промышленная и специальная робототехника», по направлению 27.03.04 «Управление в технических системах» профиль: «Управление и информатика в технических системах», очной формы обучения. Ч.3/ ФГ БОУВПО «Воронежский государственный технический университет»; cост. А.А. Катрахова, В.С. Купцов. Воронеж, 2015. 40 с.

Методическое указание содержат теоретический материал, примеры решения задач, а также задания для самостоятельной работы.

Методические указания подготовлены на магнитном

носителе в текстовом редакторе MS Word и содержатся

в файле «Sam- rab 1k3 .docx »

Ил. 8. Библиогр.: 11 назв.

Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. М.В. Юрьева

Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. И.Л. Батаронов

Издается по решению редакционно-издательского совета

Воронежского государственного технического университета

© ФГ БОУВПО «Воронежский государственный

т

Введение

Высшая математика для будущих инженеров данного профиля является не только основой фундаментальной подготовки, но и обязательной базой для изучения остальных общетехнических специальных дисциплин и успешности всей последующей практической деятельности. И главное при этом, чтобы с самого начала и на всем протяжении курса изучение высшей математики проходило студентами целенаправленно во взаимосвязи с другими дисциплинами и ориентацией на конкретное практическое приложение изученного материала. Это возможно только при условии эффективного сочетания обязательных учебных занятий и продуктивной самостоятельной работы студентов.

ЗАНЯТИЕ № 26

ПРИМЕНЕНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ

К ВЫЧИСЛЕНИЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГЛОВ

И ИНТЕГРИРОВАНИЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ

Литература: [1], c. 290-294.

Основные понятия

Существуют определенные интегралы , которые как функции верхнего предела не выражаются в конечном виде через элементарные функции. Такие интегралы иногда бывает удобно вычислять с помощью рядов. Разлагая подынтегральную функцию в степенной ряд, можно, используя теорему об интегрировании степенных рядов, представить интеграл в виде степенного ряда и подсчитать величину этого интеграла с заданной точностью при любом значении из интервала сходимости полученного ряда.

В некоторых случаях, когда интегрирование дифференциального уравнения в элементарных функциях невозможно, прибегают к приближенным методам решения уравнения с помощью степенных рядов. Для целого ряда дифференциальных уравнений, в частности для линейных, показано, что решение можно искать в виде степенного ряда: . Неопределенные коэффициенты находят подстановкой ряда в исходное уравнение и приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях разности в обеих частях полученного равенства.

Пусть решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям , , , , представимо в виде ряда Тейлора: . Тогда значение производной находится путем подстановки начальных условий в исходное уравнение, а значения следующих производных находятся последовательным дифференцированием исходного уравнения и подстановки в него и найденных ранее значений производных.

Контрольные вопросы и задания

1. При каких условиях степенной ряд можно почленно интегрировать и интеграл от суммы равен сумме интегралов?

2. Как используются степенные ряды для приближенных вычислений определенных интегралов?

3. Когда степенной ряд можно почленно дифференцировать и производная суммы равна сумме производных?

4. Как найти приближенное решение дифференциального уравнения в виде степенного ряда?

5. Если решение представимо в виде ряда Тейлора, как находится приближенное решение?

6. В чем состоит метод решения дифференциального уравнения с помощью степенных рядов?

Примеры решения задач

Пример 1. С помощью разложения в степенной ряд вычислить интеграл с точностью до 0,0001.

Решение. Разложим подынтегральную функцию в биномиальный ряд , полагая в нем , : . Этот ряд сходится при . Интегрируя его, найдем

.

Полученный результат представляет знакочередующийся сходящийся числовой ряд. Взяв сумму первых двух его членов, получим приближенное значение интеграла с заданной точностью: , так как абсолютное значение третьего члена меньше 0,0001. Заметим здесь, что промежуточные вычисления проводятся с одним лишним знаком после запятой.

Пример 2. Найти решение дифференциального уравнения с начальными условиями

Решение. Полагая, что искомое решение представляет сходящийся степенной ряд

,

найдем ряды для и его почленным дифференцированием

,

.

Используя начальные условия, найдем значения двух первых коэффициентов: , . Подставляя ряды для , и в исходное уравнение и сделав приведение подобных слагаемых, получим

.

Приравнивая к нулю все коэффициенты ряда, стоящего в левой части этого равенства, получаем систему уравнений

из которой определяем значения остальных коэффициентов:

, , ,

, …, , ….

Таким образом, искомое частное решение дифференциального уравнения имеет вид

.

Пример 3. Найти первые шесть членов разложения в ряд решения уравнения , удовлетворяющего начальным условиям , .

Решение. Будем искать решение уравнения в виде ряда Тейлора: . Подставляя в исходное уравнение и , находим . Далее, последовательно дифференцируя уравнение, имеем

, ,

, ,

, .

Так как первое слагаемое ряда , то вычислим еще

,

.

Таким образом, первые шесть членов разложения в ряд частного решения уравнения имеют вид

.

Задачи и упражнения для самостоятельного решения

№№ 2930, 2931, 2935, 2936 [3]; 12.325, 12.326, 12.327, 12.329, 12.332 [6].

Форма отчетности: устный опрос, контрольная работа.

Занятие № 27

РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯД ФУРЬЕ ФУНКЦИЙ,

ЗАДАННЫХ НА ИНТЕРВАЛЕ (0, l)

Литература: [1], 331-333.

Основные понятия

Пусть – периодическая с периодом функция, удовлетворяющая условиям теоремы Дирихле на интервале . Тогда ее разложение в тригонометрический ряд Фурье имеет следующий вид

.

Здесь подразумевается, что в точках разрыва значения функции . Коэффициенты ряда Фурье вычисляются по формулам

, ,

.

Функцию , заданную на интервале , можно произвольно продолжить на соседний интервал , а затем продолжить периодически на всю числовую ось, поэтому ее можно представить различными рядами Фурье. Пользуясь этим, такую функцию обычно представляют неполным рядом Фурье, содержащим только косинусы или только синусы. Ряд по косинусам получается при четном продолжении функции на соседний слева интервал. Он выглядит так