Материал: Методические указания по организации самостоятельной работы по курсу «Математика». Катрахова А.А., Купцов В.С

Примеры решения задач

Пример 1. Разложить в окрестности точки в ряд Тейлора.

Решение. Представим в виде суммы двух дробей: и воспользуемся разложением в ряд , сходящемся в круге , подставляя вместо для первой дроби , а для второй - . Получим ряд Тейлора , который сходится в круге .

Пример 2. Разложить в ряд Лорана функцию в областях: а) ; б) ; в) .

Решение. Представим в виде суммы двух дробей: . Если , то , а если , то . Аналогично, при имеем разложение , а если , то . Отсюда следует:

а) в круге . Это ряд Тейлора;

б) в кольце . Ряд Лорана содержит как положительные, так и отрицательные степени ;

в) в кольце . Ряд Лорана содержит только отрицательные степени .

Пример 3. Определить характер особой точки для функций: а) , б) , в) .

Решение. а) Используя разложение в ряд Тейлора , получим, что функция, стоящая в знаменателе дроби, имеет в точке нуль третьего порядка. Отсюда следует, что функция имеет в точке полюс третьего порядка.

б) Разложим в ряд Лорана: . Отсюда видно, что главная часть ряда Лорана содержит бесконечно много членов. Поэтому для функции точка является существенно особой.

в) Используя разложение в ряд Тейлора для функции в окрестности точки , получим . Лорановское разложение функции в окрестности точки не содержит главной части, поэтому эта точка является устранимой особой точкой.

Задачи и упражнения для самостоятельного решения

1. Используя разложение основных элементарных функций, разложить в ряд по степеням и указать области сходимости полученных рядов:

а) ; б) ; в) ; г) .

2. Доказать, что справедливы формулы:

а) при ;

б) при ,

где и - заданные комплексные числа. Указание: использовать при доказательстве разложение функции в ряд (геометрическую прогрессию).

3. Разложить в ряд Лорана следующие функции в указанных областях:

а) в кольце и в кольце ;

б) в кольцах и ;

в) в кольце ;

г) в кольцах и .

4. Найти особые точки функции и определить их тип:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

Форма отчетности: устный опрос, типовой расчет, коллоквиум.

Занятие 35-36 вычеты и их вычисление. Основная теорема о вычетах. Применние вычетов к вычислению интегралов

, с. 132-137; , с. 70-81; , с. 172-179.

Контрольные вопросы и задания

1. Что называется вычетом функции относительно особой точки?

2. Чему равен вычет в устранимой особой точке и почему?

3. Как вычисляется вычет в простом и кратном полюсах?

4. Как находится вычет в существенно особой точке?

5. Сформулируйте основную теорему о вычетах. Как применяется теория вычетов к вычислению интегралов по замкнутым контурам?

6. Сформулируйте лемму Жордана. Как применяются вычеты при вычислении несобственных интегралов?

Примеры решения задач

Пример 1. Найти вычеты функции в ее особых точках.

Решение. Функция имеет две особые точки: - простой полюс и - полюс кратности 2. В случае простого полюса вычет вычисляется по формуле . Для получаем . В случае полюса кратности вычет вычисляется по формуле . Для и получаем .

Пример 2. Вычислить вычет в точке .

Решение. Для функции точка является существенно особой, так как . Поэтому , где - коэффициент ряда Лорана при .

Пример 3. Вычислить интеграл .

Решение. Подынтегральная функция имеет внутри круга одну особую точку - полюс первого порядка (рис. 3). Воспользуемся формулой . Получим . Далее воспользуемся основной теоремой о вычетах. Откуда получим

.

Р ис. 3 Рис. 4

Пример 4. Вычислить интеграл .

Решение. Подынтегральная функция имеет внутри круга одну особую точку , которая является существенно особой (рис. 4). Поэтому для вычисления вычета в точке применим формулу , где - коэффициент ряда Лорана при . Имеем . Так как , то . Следовательно .

Пример 5. Вычислить интеграл .

Решение. Введем функцию , которая на действительной оси ( ) совпадает с подынтегральной функцией, которая является дробно-рациональной. Функция имеет в верхней полуплоскости ( ) единственный полюс четвертого порядка . Поэтому , где . Отсюда .

Задачи и упражнения для самостоятельной работы

1. Найти вычеты функции в ее особых точках:

а) ; б) ;

в) .

2. Вычислить интегралы: а) , где ;

б) , где ; в) , где ; г) , где .

2. Вычислить несобственные интегралы:

а) ; б) ; в) ; г) .

Форма отчетности: устный опрос, типовой расчет,

коллоквиум.