Материал: Методы оптимизации в примерах и задачах. Медведь Н.А., Фокин А.А

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

f (x* ) 0

(такая точка называется стационарной).
Т е ор е м а 2. (Достаточное условие экстремума).
Если в стационарной точке				x*	Rn	функция f (x) дважды
дифференцируема и	матрица		ее	вторых производных H (x* )
положительно определена		(т.е.		все		ее	главные		миноры
_____
Hk 0, k 1, n ) , то x* -точка локального минимума.
Пример 1. Решить задачу
f (x)	x 2	x 2	x	2	x	2x	x x		min
	1	2	3		1	3	2	3

Решение. Запишем систему:

dx1 2x1 1 0,

dx2 2x2 x3 0,

dx3 2x3 2 2x2 0

Решив систему уравнений, получим

Проверим, выполняются ли в полученной стационарной точке достаточные условия экстремума. Матрица вторых частных производных в данной задаче является постоянной:

2 0 0

H 0 2 1 . 0 1 2

Вычислим главные миноры:

H1=2>0, H2=2·2=4>0, H3=2·(2·2+1)=10>0.

На основании полученных результатов можно сделать вывод, что матрица положительно определена, т.е. x* точка минимума


функции f (x)	и fmin				19		.
функции f (x)	и fmin		12				.
			12
Ответ: f		(x)		19		; x*			1	; x*	2	; x*		4	.
Ответ: f	min	(x)				; x*				; x*		; x*			.
	min		12					1	2	2	3		3	3
			12						2		3			3
Для задач с ограничениями-равенствами
	f0 (x)				min,

fi (x) bi , i 1, m

необходимое условие экстремума формулируется в виде принципа

Лагранжа.
Т е ор е м а 3 (принцип Лагранжа). Пусть	х* - точка
	_____
локального экстремума функции f0 (x) , причем	fi (x), i= 0,m

непрерывно дифференцируемы в окрестности точки х* и векторы

	_____
f	(x* ), i=1,m - линейно		независимы.			Тогда	существует такой
i
вектор y* R m , что для функции Лагранжа
					m
	(x, y)		f0 (x)			yi (bi	fi (x))
				i	1
выполняются следующие равенства:
	1)	x	(x, y)		0
		x
	2)	y	(x, y)		0
		y
	При проверке достаточных условий экстремума в некоторых
задачах условной оптимизации				можно		пользоваться критерием
Вейерштрасса.
	Т е ор е м а 4 (критерий			Вейерштрасса). Пусть				f (x) -
непрерывная функция, а			множество			представляет		собой
компакт. Тогда существуют точки xmin , xmax							, такие что

f (x min )	min f (x)
x	Rn
f (xmax ) max	f (x) .
x Rn

Пример 2. Найти условный экстремум в задаче

f0 (x)	x1	x2	extr
f1 (x)	x12	x22	2

Решение. Функции f0 (x), f1 (x) данной задачи являются

непрерывно дифференцируемыми. Ограничение здесь единственно, поэтому линейная независимость градиентов ограничений может быть нарушена лишь в случае, когда

f1 (x) 0 ,

т.е.

(2x1 ,2x2 ) (0,0) x1 x2 0 .

Однако точка (0,0) не является допустимой в данной задаче и, следовательно, не является решением. Воспользуемся принципом Лагранжа. Функция Лагранжа имеет вид

(x, y) x1 x2				y1 (2 x12 x22 )
Выпишем необходимые условия экстремума
1)	(x, y)		1	2 y1 x1	0,

	x1
	x1
	(x, y)		1	2 y1 x2	0, ,

	x	2
	x	2
2)	(x, y)		2	x12 x22	0

	y1
	y1

Вычитая из первого уравнения второе, получаем

2 y1 (x2	x1 ) 0.
Равенство y1 0	невозможно, так как в противном случае
первые два уравнения	системы несовместны. Значит, x1 x2 .

Использовав это условие в последнем уравнении, находим подозрительные на экстремум точки:

А: x*	1,	x*	1, y*	1/ 2;
1		2	1
B: x*	1,	x*	1,	y*	1/ 2.
1		2		1

Допустимое множество в исходной задаче представляет собой окружность, а, следовательно, компакт. Как следует из критерия Вейерштрасса, среди подозрительных на экстремум точек данной задачи должны быть точка максимума и точка минимума. Так как

	f0 ( 1, 1)				f0 (1,1) ,
то точка В является точкой минимума и								f min		2 , а точка А-
								0
точкой максимума и f max				2 .
		0
f		2,	x*		1,	x*	1;
Ответ:	min		1			2
f	max	2,	x*	1,	x*	1.
	max		1		2
При решении			большинства				задач		проверка условия
							(x* ),		____
линейной независимости векторов						f	(x* ),	i	1, m затруднена, так
						i

как точка х* заранее неизвестна. Однако это требование является существенным.

Пример 3. Найти условный экстремум в задаче

f	0	(x)	3x 2	4x x			2	5x	2	min
			1		1
f1 (x) x1				x2		4
Решение. Функции					f0 (x)			и f1 (x)		данной задачи являются

непрерывно дифференцируемыми. Ограничение здесь линейное, f1 (x) (1,1) - линейно независимая система.

1. Запишем функцию Лагранжа:

Ô(x, y) 3x 2	4x x		1	x 2	y (4 x x ).
Ô(x, y) 3x 2	4x x			x 2	y (4 x x ).
1	1	2	2	2	1	1	2

2. Выпишем необходимые условия экстремума:

1)	(x, y)	6x1	4x2	y1	0,

	x1
	x1
	(x, y)	4x1	x2	y1	0,

	x2
	x2
2)	(x, y)	4 x1 x2		0

	y1
	y1

Произведя необходимые вычисления, получим:

x *	12, x *	8, y *	40.
1	2	1

Допустимое множество в исходной задаче представляет собой прямую, т.е. не является компактом.

3. Посчитаем вторые частные производные по x для функции Лагранжа :

d 2 (x, y)

d 2

(x, y)

d 2

(x, y)

dx 2

dx dx

4. Составим второй дифференциал

d 2

(x*, y*)

6dx 2

4dx dx

dx 2

2 .

Продифференцировав уравнение связи x1

4 , получим

dx1

dx2 .

Подставим это выражение в дифференциал:

d 2

(x*, y*) 6dx22

4dx22

dx22

2dx22 .

Так как

Источник: https://studfile.net/preview/16565974/

Смотрите также:



_1966(~1
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога
"Логистическая технология JIT"
"Особенности правовой системы Российской Федерации" по дисциплине "Теория государства и права"
«Анализ ликвидности и платежеспособности предприятия» (на материалах ОАО Московская кондитерская фабрика «Красный Октябрь»)