Материал: Методы оптимизации в примерах и задачах. Медведь Н.А., Фокин А.А

Решение: Допустимое множество задачи изображено на рис.3.2.2. Линиями уровня целевой функции являются концентрические эллипсы с центром в точке (2,4) и задающиеся уравнением

2(x1 2)2 (x2 4)2 C .

Поскольку точка (2,4) принадлежит допустимому множеству, то она и будет являться точкой минимума задачи. Из графика видно, что максимальному значению функции соответствует эллипс, пересекающий границу области в точке

X max .

.Xmax

x2

.Xmin

x1

Рисунок 3.2.2.

68

Координаты этой точки находятся из условия пересечения

рис.3.2.3. Линиями уровня целевой функции являются концентрические квадраты с центром в точке (2,0) и задающиеся уравнением

max{ x1 2 , x2 } C .

Минимальному значению целевой функции соответствует квадрат с минимальной стороной, пересекающий допустимую область.

x2

1 .

1. x1

Рисунок 3.2.3

69

Из графика видно, что такой квадрат будет касаться границы допустимой области в двух точках. Координаты точек находятся из условий:

Для той точки, которая лежит в первой четверти

0 x1 2, 0 x2 ,

поэтому система принимает вид:

откуда

x11 43 , x21 23 .

Вторая точка симметрична данной относительно оси Ох, поэтому ее координаты имеют вид

x11 43 , x21 23 .

При неограниченном увеличении стороны квадрата, линии уровня будут продолжать пересекать допустимую область, поэтому

sup f (x, y)

Пример 4.

f (x1, x2 ) (x1 5)x2 extr,

x12 x22 3

Решение: Допустимое множество задачи изображено на

70

рис.3.2.4. Линиями уровня целевой функции являются гиперболы с асимптотами x1 =5, x2 =0 и задающиеся уравнением

(x1 5)x2 C .

Минимум функции будет достигаться при С<0, максимум – при С>0. Обе точки являются точками касания окружности и гиперболы. Координаты точки касания находим, приравнивая

значения производных (x2 )'x1 нулю.

Рисунок 3.2.4

Дифференцируя уравнение гиперболы

(x1 5)x2 C ,

получим

Из уравнения окружности находим

71

Задачи для самостоятельного решения

3.2.1. Решить графически задачи нелинейного программирования:

72